Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspectividades: uma que transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).
A o chamamos eixo da projectividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos
Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetividade assim definida, será o ponto X'' de incidência comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.
Fica assim provado que há sempre uma projectividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada como composta de duas perspectividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer sequência de perspectividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.
Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?
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