Relações harmónicas - duais.

Introduzimos a relação harmónica H(AB,CF) com recurso a um quadrilátero completo PQRS, para a qual os pontos A, B, C determinam univocamente F. Trata-se agora de dualizar esse trabalho que concluirá por uma relação para a qual três retas a, b, c determinam univocamente uma quarta reta f.

H(AB, CF): Estabelecer essa relação harmónica é o mesmo que criar o conjunto harmónico (AA,BB,CF) como secção (pontual) de um quadrilátero completo PQRS pela reta AB, considerados estes últimos como pontos diagonais do quadrilátero a construir. Fez-se assim: Tomámos a reta dos três pontos A, B, C colineares e um ponto R (livre) fora dessa reta. E traçamos os lados do triângulo ABR. Seguidamente, por A, tirámos uma segunda reta que corta BR em P e CR em S. A reta que passa por B e S determina Q sobre AR. Falta o lado QP que cortará ABC em F, conjugado harmónico de C; C é único para cada terno ABC, independente do quadrilátero PQRS; poderá verificar ao fazer variar o quadrilátero (deslocando R) de que construímos os lados e em que A e B são dois dos seus 3 pontos diagonais e C está sobre AB e o lado RS. C é o conjugado harmónico de F pela relação estabelecida.

H(ab,cf): Tomamos agora três retas distintas a,b,c que incidem num mesmo ponto que designamos por a.b.c. E vamos construir um quadrilátero de lados p,q,r,s, começando pelo triângulo qrs cujos vértices q.r, q.s, r.s incidam respetivamente em a,b,c. O lado p é o que passa por a.s e b.r, p=(a.s)(b.r). O lado p interseta q e tomamos a reta f=(a.b)(p.q) Assim, o quadrilátero de lados p,q,r,s tem a e b como duas das suas 3 diagonais enquanto c passa por dois vértices. Poderá verificar que f é única para cada terno (a,b,c) independente do quadrilátero de lados p,q,r,s, como pode verificar quando desloca esses lados mantendo a incidência das suas interseções em a,b,c fixas.Por exemplo, pode deslocar os pontos a.r sobre a reta a, b.q sobre a reta b ou c.r sobre a reta c. Podemos dizer que a reta f assim determinada é conjugada harmónica da reta c numa relação harmónica que designamos talvez abusivamente por H(ab,cf).

Se,na figura da direita, chamarmos A=a.q=a.r, B=b.q=b.s=q.s, C=c.q e F=f.q=p.q=f.p, é óbvio concluir que (AA,BB,CF) é um conjunto harmónico ou que H(AB,CF). Basta identificar as linhas ligadas ao quadrilátero de lados p,q,r,s e retas diagonais a,b,c com as linhas PQ, AB,QR, RP,PS, QS, RS para ver como ABCF, sendo uma secção do conjunto harmónico abcf é uma secção pontual harmónica do quadrilátero de vértices PQRS, agora nomeado.