Teorema Fundamental da Geometria Projetiva

Como sabemos, uma reta r corta um feixe abc de centro O₁ numa pontual ABC. Podemos fazer corresponder a cada ponto de uma pontual uma reta de um feixe e reciprocamente, a cada reta de um feixe fazemos corresponder um ponto de uma pontual.
O Teorema Fundamental da Geometria Projetiva diz-nos que
1. uma projetividade é bem determinada se conhecermos 3 pontos colineares (de uma pontual sobre uma reta r) e os correspondentes (um a um) 3 pontos colineares (de uma outra pontual sobre s)
ou dualmente
2. uma projetividade fica bem definida se conhecermos 3 retas concorrentes num ponto O₁ e as correspondentes (uma a uma) retas de um outro feixe de centro O₂.

Demonstração:
1. Quaisquer 3 pontos A, B, C de uma pontual sobre uma reta r e quaisquer 3 pontos A', B', C' de uma pontual sobre s definem sempre uma projetividade que transforma A em A', B em B', C em C'. Assim: Tomemos um feixe centrado em A (AA', AB', AC') e um outro centrado em A' (A'A, A'B, A'C) e a reta que passa por K=AB'.A'B e L=AC'.A'C. Sendo J=AA'.KL, pela perspetividade de centro A', a pontual ABC é transformada em JKL e esta, pela perspetividade de centro A, é transformada em A'B'C'. A projetividade, composta dessas duas perspetividades, transforma ABC em A'B'C'.
Claro que para definir esta projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' se podem tomar como centros dos feixes B e B', C e C' ou dois pontos quaisquer em AA' (BB' ou CC').
Se precisarmos de determinar a imagem de um quarto ponto X sobre r, bastará tomar A'X do feixe centrado em A' e, sendo M o ponto comum a A'X e KL, X' será o ponto de AM do feixe centrado em A comum a s.



2. Tomados dois feixes a, b, c por O₁ e a', b', c' por O₂, fica bem definida uma projetividade que faz corresponder a a a', b a b', c a c'. Assim: Cortando o primeiro feixe por uma reta r arbitrária, obtemos uma pontual A, B, C de base r e cortando o segundo feixe por uma outra reta s, obtemos uma outra pontual A', B' C'. Por 1. fica definida a projetividade que leva de A a A', B a B', C a C'. E, finalmente, podemos definir a projetividade entre os dois feixes
a→A→A'→a', b→B→B'→b' e c→C→C'→c'.

Se precisarmos de determinar a imagem de uma quarta reta d por O₁, bastará tomar D=r.d e, seguindo o procedimento de (1,) determinar D' sobre s para definir d'=D'O₂.