Harmónicos em 2 lados, harmónico no 3º lado de um triângulo

Se PQR é um triângulo, H(AA₁,QR) e H(BB₁,RP) então P e Q são conjugados harmónico relativamente a C=AB₁.BA₁ e C₁=AB.A₁B₁.

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A construção abaixo serve para ilustrar esse resultado. Tomámos A e A₁ sobre RQ tal que H(AA₁,QR) e BB₁ sobre RP tais que H(BB₁,RP) - a hipótese por construção. E podemos constatar a tese sobre a mesma construção. Demonstração:

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O quadrilátero BCB₁C₁ garante que CC₁ interseta AA₁ em Q, conjugado harmónico de R relativamente a A e A₁. E de modo análogo, o quadrilátero CAC₁A₁ garante que CC₁ interseta BB₁ em P, conjugado harmónico de R. Finalmente, o quadrilátero ABA₁B₁ garante-nos que Q sobre AA₁ e P sobre BB₁ são conjugados harmónicos relativamente a C e C₁