Polar trilinear de um ponto

Seja o triângulo ABC e um ponto P que não coincida com qualquer dos seus vértices nem incida em qualquer dos seus lados a=BC, b=AC e c=AB. Tiremos por P as retas PA, PB e PC e chamemos P_a a PA.BC, P_b=PB.AC e P_c=PC.AB
E tomemmos as cevianas do triângulo ABC, AP_a, BP_b e CP_c que incidem em P.
Consideremos agora o triângulo cujos vértices são os pés das cevianas P_aP_bP_c e as interseções P_cP_b.BC=P'_a, P_aP_c.AC=P'_b e P_aP_b.AB=P'_c.
Então:
a) P'_a, P'_b e P'_c são colineares
Como ABC e P_aP_bP_c são perspetivos por P (centro), serão perspetivos por uma reta (eixo) que não pode ser outra senão a reta dos pontos de interseção dos pares de lados correspondentes
b) H(BC, P_aP'_a), H(AC, P_bP'_b) e H(BC,P_cP'_c)
Basta considerar o quadrilátero completo P_bP_cAP para concluir que se verifica H(BC,P_aP'_a). De igual modo se verificarão as outras relações.

Poncelet chamou polar trilinear de P à reta p em que incidem os pontos P'_a, P'_b e P'_c.

Dualmente: dado um triângulo ABC e uma reta p que corte os lados do triângulo sem passar por qualquer dos seus vértices, pode falar-se do polo trilinear P da reta p. Um problema pode ser determiná-lo.