Uma sequência especial de pontos harmonicamente relacionados

Afinal uma rede harmónica não é mais que um conjunto de no mínimo três pontos que inclui, para cada terno dos seus pontos, o conjugado harmónico de cada um relativamente aos outros dois. Na entrada anterior, definimos rede harmónica ou rede de racionalidade (tradução literal de "harmonic net" e "net of rationality" usadas em Projective Gometry - Coxeter, que seguimos no nosso estudo acompanhado das nossas construções dinâmicas).

Nesta entrada, construímos um conjunto numerável de pontos harmonicamente relacionados com ABZ, em que cada ponto novo sucede ao anterior.

[A.A.M.]
O procedimento especial aqui seguido pode ser descrito como segue:
Tomados A, B e Z, consideramos uma reta arbitrária tirada por Z e sobre ela dois pontos P e R arbitrários. Tomado A'=AP.BR, traçamos a reta ZA'. E tomamos os pontos B'=BP.A'Z, Q=AR.ZA'.
O quadrilátero completo B'RQS da figura, em que C=RB'.AZ e S=QC.AB', prova a relação harmónica H(AC,BZ).

O procedimento para obter D é semelhante:
C'=CP.A'Z para obter sobre AZ o ponto D=RC'.AZ; D'=DP.A'Z para obter E=RD'.AZ,; etc
As relações construídas por este processo (e verificadas de forma análoga à H(AC,BZ) ou H(BZ, AC) são H(CZ,BD), H(DZ,CE), ...

Esta sequência A, B, C, D, E, ... assim construída depende exclusivamente de A, B, Z e é independente da escolha dos pontos auxiliares P e R (pontos que pode deslocar na figura para ver que esta sequência de pontos relacionados harmonicamente com A, B, Z é única, para o procedimento descrito).

Este procedimento leva a um subconjunto da rede de racionalidade R(ABZ). Neste caso entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência não há termos relacionados harmonicamente com A, B, Z (à semelhança do que acontece no conjunto dos naturais como subconjunto dos racionais).

Como é óbvio a pontual A', B', C' D',... é perspetiva de centro P com a pontual A, B, C, D,... Como esta é uma rede harmónica também é harmónica a pontual A', B' C', D', ...