Tome P'a=p.BC. E determine Pa: H(BC,P'aPa). Depois determine Pb e Pc.
Para pensar:
a) O que acontece se nós estendermos as definições de polo e polares trilineares para quando o ponto P estiver sobre algum lado do triângulo ou for algum dos seus vértices? O que acontece quando a reta p cortar os lados do triângulo em algum vértice ou quando a reta p corta algum dos lados do triângulo num ponto do infinito?
b) Pense na possibilidade de determinar o polo de uma reta no infinito relativamente a um triângulo ABC dado.
Já apresentámos o problema resolvido em geral mais do que uma vez. Por exemplo, em da polar trilinear ao polo (de 2009) que transcrevemos:
A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?
[A.A.M.] reconstrutor de serviço
Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.
Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:
- Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'a, P'b e P'c.
- O vértice Pc do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'a, P'b e P'c. A determinação de Pc ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal
- Determinado Pc, imediatamente se determinam Pa e Pb tirando as rectas P'a Pc e P'bPc que intersectam os lados de ABC em Pa e Pb. A recta P'cPa passa por Pb e, por isso PaPbPc determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.
- As cevianas APa, BPb e CPc intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p
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