Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Na construção que se segue, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.


[A.A.M]
Sigamos os passos da construção - perspectiva e projectiva - deslocando o cursor n=1, 2, ..., 5
Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que
ABCD → BADC
Assim:
n=3 ---> pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD):   ABCD →ZRCW,
n=4 ---> seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD):    ZRCW → QTDW e
n=5 ---> da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD):    QTDW→BADC.

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Exercicios propostos por Coxeter:

1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A e C→C
2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac
3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito
   ABC→abc.
4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito
   ABCD →DCBA