Mohr-Mascheroni

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António Aurélio Fernandes, o (há mais tempo) crítico e nunca satisfeito militante deste jovem :-) blog, tem sistematicamente levantado dúvidas (que todos acompanhamos) sobre velhíssimos problemas relacionados com o que sejam os teoremas de construção usando tão só cada uma ou as duas ferramentas euclidianas - régua (recta: dois pontos distintos) e compasso (circunferência: dois pontos tomando um deles para centro da circunferência e o outro um ponto dela, 3 pontos distintos não colineares).

Para António Aurélio Fernandes, com a devida vénia a Howard Eves, traduzimos (muito provavelmente mal e transcrevemos do seu livro Fundamentals of Modern Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1972; pp 130 e 131) o excerto

"(3.5.3 Teorema de construção de Mohr-Mascheroni. Qualquer construção euclidiana, para a qual os elementos dados e necessários são pontos, pode ser realizada somente com o compasso euclidiano.
Numa construção euclidiana, cada novo ponto é determinado como uma intersecção de duas círcunferências, de uma linha reta e uma circunferência, ou de duas linhas retas, e a construção, por mais complicada que seja, é a sucessão de um número finito desses procedimentos."

Nota à margem:
Podemos falar só de compasso por termos provado já que os compassos euclidiano e moderno são equivalentes, como pode verifiar por esta construção ilustrativa da equivalência.

Nos passos de 1 (dados A,B e O)até 5, é utilizado exclusivamente o compasso euclidiano (circunferência definida por dois pontos dados, um deles para centro e outro sobre a circunferência), para determinar a circunferência de centro O e raio AB. No passo 6, utiliza-se o compasso moderno: a ponta seca do compasso (vermelho) em A e a outra ponta em B, AB transportado para O, definindo desse modo a cirunferência de centro em O e raio AB - um só passo- que coincide com a circunferência antes obtida em 5 passos.

Compasso euclidiano				Compasso moderno
2	O(A), A(O)	4	C(B), D(B)	6	O(AB)
3	O(A).A(O)={C,D}	5	C(B).D(B) = {B,E}	O(AB)=O(E)?
OA=OC=OD		BC=CE, DB=BE		AB=OE?
ΔADO e ΔCAO equiláteros e ΔDBE isósceles sendo CD a reta das suas alturas, OABE é um trapézio de bases DA e BE isósceles .....AB=BD=DE=EO ---->				AB=OE

"É então suficiente mostrar que apenas com um compasso moderno somos capazes de resolver os seguintes problemas:
  I. Dados A, B, C, D, encontre os pontos de intersecção de A(B) e C(D).
 II.Dados A, B, C, D, encontre os pontos de intersecção de AB e C(D).
III.Dados A, B, C, D, encontre o ponto de intersecção de AB e CD.
É de notar que a nossa prova do Teorema da construção de Mohr - Mascheroni é mais do que uma mera prova de existência, pois não só mostramos a existência de uma construção que utiliza apenas o compasso euclidiano que pode substituir qualquer construção euclidiana, mas mostrando como tal construção pode realmente ser obtida a partir da construção euclidiana dada. Deve-se confessar, no entanto, que a construção resultante usando apenas o compasso euclidiano seria, com toda probabilidade, muito mais complicada do que o necessário. A tarefa de encontrar uma construção "mais simples", empregando apenas o compasso euclidiano, ou mesmo apenas o compasso moderno, é, em geral, muito difícil, e requer considerável engenho ao solucionador."
Sobre estes problemas: I. é óbvio e II. e III. foram resolvidos em entradas recentes, que pode consultar. Esperamos que A.A. Fernandes aceite o facto de já termos feitos uma demonstração (exactamente a via escolhida por Mascheroni)"

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Lembramos as entradas relacionadas as questões construtivas que se levantam ao Teorema de Mohr-Mascheroni: 12.01.14: Instrumentos euclidianos
14.1.14: O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.
16.1.14: Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias
14.01.19: Determinar os pontos de intersecção da reta AB com a circunferência (C,CD), usando só o compasso moderno.
15.01.19: Determinar os pontos de intersecção de uma reta que passa por dois pontos dados A,B com uma circunferência de que são dados o centro C, incidente em AB, e um dos seus pontos D.
24.01.19: Dados os pontos A,B,C,D determinar os pontos de intersecção das rectas AB e CD recorrendo unicamente ao compasso moderno

Polaridades: Problemas já resolvidos com régua só.

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Numa entrada publicada em 23/04/2007: Polar de um ponto em relação a duas rectas e Polar de um ponto em relação a uma circunferência apresentavam-se noções e problemas interactivos (em CaR) de construção só com régua que deixaram de ser vistos por razões que nos ultrapassam e que nos têm obrigado a fazer reparações e transferências desse trabalho para geogebra (por exemplo, como é o caso destas). A determinação da polar(lugar geométrico dos conjugados harmónicos de pontos - aqui relativamente a duas rectas e a círculos)- são aqui apresentadas

1. Polar de um ponto em relação a duas rectas concorrentes


2. Polar de um ponto em relação a uma circunferência
a) polar de um ponto exterior ao círculo

b) polar de um ponto do interior do círculo
Aproveitamos para apresentar a solução com recurso ao quadrilátero inscrito de diagonais a passar por P,[ para além do normal processo de quadrilátero completo qualquer, para dado P de AB (secante do círculo) determinar o ponto P' de AB tal que (PP'AB)=-1].

Problemas de construção só com régua

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Nas últimas entradas, tratámos os problemas de construção só com compasso. Tudo o que fazemos com a régua e o compasso, podemos realizar só com o compasso.
O Teorema de Construção Mohr-Mascheroni fixa essa possibilidade.
Será que conseguimos resolver todos os problemas de construção de régua e compasso só com régua? Também já abordámos (de forma dispersa) problemas da resolução só com régua. Há problemas de régua e compasso que podem resolver-se só com régua, mas não todos. O simples problema de determinação do ponto médio entre dois pontos distintos não pode ser resolvido só com retas. (Teorema de Construção Poncelet-Steiner)
Seguindo H. Eves, no seu livro Fundamentals of Modern Elementary Geometry, voltaremos a essa história, mas para já abordamos um problema que podemos resolver porque nos é dado o ponto médio de dois pontos da reta da qual queremos determinar (construir) uma paralela a passar por um ponto a ela exterior

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Primeiro Problema só com régua:
Dados quatro pontos A, B, C, D, sendo C o ponto médio de AB, com recurso exclusivo a uma régua, construir a reta que passa por D e é paralela a AB.

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Sigamos passo a passo a seguinte construção interactiva

1. de que nos são dados os quatro pontos e a reta a.
   
   
   
2. Traçamos as retas b = AD e c = BD.
3. Tomamos um arbitrário ponto E distinto de D e incidente em b = AD
4. Traçamos as retas d = CE e f = BE e o ponto F = c.d
5. Traçamos a reta e = AF
6. que corta a reta f = BE em G = e.f
7. A reta g = DG é a paralela a a = AB que procurávamos

A afirmação final é suportada por não termos feito mais que construir um quadrilátero completo e, no quarteto harmónico ABC...H este último ponto de intersecção das retas a e g ser o conjugado harmónico de C que, por C ser equidistante de A e B, obrigaria H a ser um ponto equidistante de A e de B que, não sendo C, é um ponto no infinito.

............... CA . A............H = CB . B...........H...............

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No próximo problema, não é dado o ponto o ponto médio de qualquer segmento da reta AB e, em vez disso, temos uma circunferência e o seu centro.

Segundo Problema:
Dado um círculo com o seu centro (O), uma reta AB e um ponto P não incidente em AB, usando unicamente retas (régua), construir a reta paralela a AB que passa por P.

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Utilizamos o problema anterior para superar a falta do ponto médio de um segmento de AB.
Qualquer reta que passe pelo centro de uma circunferência corta-a em dois pontos extremos de um diâmetro que é um segmento de reta de que temos o ponto médio O e, por isso, podemos tirar por P uma paralela a um qualquer diâmetro. Se os diâmetros não forem paralelos à reta AB ... veremos, na construção dinâmica que se segue, passo a passo, deslocando o cursor n que pode tomar valores de 1 a 13, como determinar um segmento de AB e o seu ponto médio.

1. Apresenta-se a reta AB e o ponto P a ela exterior e
2. uma circunferência com seu centro (O)
3. Uma reta que passa por O e corta a circunferência em R,S sendo RO=OS. E determinamos a paralela a RS que passa por P. Pode deslocar R sobre a circunferência e assim ver o que se passa com as diversas retas a passar por O
4. Escolhida uma reta RS não paralela a AB, a paralela a RS que passa por P terá um ponto C em comum com a reta AB
5. Tomada uma outra reta UV a passar por O, pelo mesmo processo, tiramos por P a paralela a ela que,
6. não sendo paralela a AB, com esta terá um ponto D em comum.
7. Por C, tiramos agora uma paralela a UV e
8. por D uma paralela a RS, obtendo um ponto Q de intersecção destas duas últimas retas.
9. Obtivemos desse modo um paralelogramo PCQD e em consequência um ponto M intersecção das suas diagonais e tal que CM=MD.
10. Sendo este último ponto M equidistante de dois pontos C e D, podemos determinar o conjugado harmónico de M relativamente a C, D
11. e a reta vermelha paralela à reta AB ou CD que passa por P, solução do problema de construção proposto.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry

Com compasso, dividir por 3 o segmento determinado por 2 pontos

Problema: Dados dois pontos A e B, determinar um ponto K sobre AB tal que AB=3AK, usando compasso
A construção é em tudo análoga à realizada para dividir um segmento em dois da entrada anterior. A barra ao fundo do rectângulo de visualisação permite o acompanhamento dos passos da construção dinâmica aqui apresentada..

1.      São presentes os dois pontos A e B.



2.      Começamos por usar o compasso para multiplicar; assim:

          (A, B), (B, A) ---------> (A,B).(B,A)={C, D}
          (C,B)-------------------> (C,B).(B,A)={A,E}
          (C,B)-------------------> (E,B).(B,C)={C,F}
          AB+BF=AF=2AB
          (F,E)-------------------> (F, E).(E, F) ={E,G}
          (G,F)-------------------> (G,F).(F,G)={H,E}
          AB+BF+FH=AF+FH=2AB+AB = 3AB
3.      Usamos o compasso para dividir; assim:

          (H, A), (A, B) ---------> (H,A).(A,B)={I, J}

4.
          (I,A), (J,A) -----------> (I,A).(J,A)={A,K}
          AK: 3AK=AB

Dividir por 2 a compasso

Problema: Usando só o compasso, determinar o ponto médio de um segmento dado.

Em entradas anteriores abordámos a multiplicação por 2, usando só o compasso. Nesta estamos a multiplicar por 1/2.
Sigamos os passos da construção adequada.

1    Apresentam-se dois pontos A, B.



2.    As circunferências (A,B), (B,A) intersectam-se em dois pontos. Qualquer deles é equidistante de A e B e está á distancia AB. Chamamos C a um desses pontos e sabemos que AB=BC=CA ou que ABC é um triângulo equilátero. As circunferências (B,A) e (C,B) intersectam-se em pontos equidistantes de B e C. Chamamos a um desses pontos D e sabemos que BD=DC=CA=AB. Finalmente, usamos uma circunferência (D,C) que intersectada com (C,B) nos dá um ponto E tal que ED=DC=CB=BA. Concluímos o ponto B é vértice comum a três triângulos equiláteros e a três ângulos iguais entre si e aos ângulos DEB=.... E é colinear com A e B e sendo EB=BA, AE =2AB.

3.    As circunferências (E,A) e (A, B) intersectam-se em dois pontos F e G tais que EF = EG = EA = 2AB e FA = AG = AB. Os triângulos ABG e AFB são iguais isósceles de bases BG e AB e os triângulos EGA e AFE também são triângulos isósceles iguais de bases AG e AF.

4.     Finalmente consideramos as circunferências (F, A) e (G, A) que se intersectam, para além de A, num ponto H tal que GH=HF=FA=AG. Os triângulos AFH e HGA são tais que AF=FH=HG=GA=AB (F,G,B pontos de (A,B) e A, H são pontos da (A,F).(A,G)).

Este ponto H é o tal que AH=HB □(?) Para já, só prometo que vou continuar a olhar por ele ou para ele como até aqui....

Duplicar, triplicar, .... com compasso

Determinar, usando só o compasso, um ponto E colinear com A e B e tal que AE = 2AB.
1. Dois pontos dados A e B são extremos de um segmento de reta AB.
Seguindo a construção
2. Assim: As circunferências (A, B) e (B, A) passam por um ponto C (comum). Claro que AB=BA=AC. ABC é um triângulo equilátero.
As circunferências (C,A) e (B, A) passam por um ponto comum D e, como é óbvio BC = BD (ou seja BC=BD=DC).
As circunferências (D,B) e e (B,C) passam por um ponto comum E sendo equilátero o triângulo DEB.
Ou seja os ângulos comuns aos 3 triângulos equiláteros com o vértice B comum são todos iguais sendo a sua soma é um raso e, por isso, E é colinear com A e B sendo AB=BE.
Concluindo o ponto E é tal que AE=AB+BE = 2AB

3. Repetindo o processo: (E,D) e (D,E) passa por F e (F,E) tem um ponto G que é simultaneamente ponto de (E, D) e é colinear com B e E (estes colineares com A). Assim AB=BE=EG e AG = AB+BE+EG= 3AB. Fica determinado o ponto G: AG=3AB. …………

Só com compasso, dividir em quatro arcos iguais uma dada circunferência.

Nesta entrada realizamos uma construção dinâmica adequada ao problema

Só com compasso, dividir em quatro arcos iguais uma dada circunferência.

$\fbox{1}:\;$ Com centro num ponto $\;O\;$ há uma infinidade de circunferências; designamos essa família por $\;(O).\;$ Cada uma das circunferências daquela família fica bem definida se lhe associarmos o número que corresponda à distância única a que se encontram os seus pontos do seu centro - raio $\;r\;$. Um elemento da família $\;(O)\;$ pode designar-se por $\;(O, \;r)\;$ ou por $\;(O, \;P)\;$ sendo $\; OP=r\;$ Considere dada a circunferência a apresentada.



$\fbox{2}:\;$ Toma-se um ponto $\;A\;$ qualquer incidente em $\;(O, \;r),\;$ que pode ocupar qualquer posição na circunferência dada. $\;OA=r\;$
$\fbox{3}:\;$Fica bem determinada uma circunferência de centro em $\;A\;$ a passar por $\;O\;$ que pode ser representada por $\;(A, \;O),\;$ ou por $\;(A, \;r).\;$ pois $\;AO = OA = r.\;$ Ficam bem determinados dois pontos na intersecção $\;(O, \;r). (A, \;r)\;$ tomamos um deles que designamos por $\;B\;: OA=AB=\;$ $=BO=r.\;$
$\fbox{4}:\;$ A circunferência $\;(B, \;O)\;$ centrada em $\;B\;$ que passa por $\;O\;$ intersecta $\;(O,A)\;$ em dois pontos: $\;A\;$ e um outro a que chamamos $\;C\;$ sendo $\;OA=AB=BC=CO=r\;$
$\fbox{5}:\;$ Do mesmo modo, a circunferência $\;(C, \;O)\;$ intersecta $\;(O, \;r)\;$ em dois pontos sendo um deles $\;B\;$ e outro a que chamamos $\;D,\;$ sendo $\;OB=BC=CD=DO=r\;$
Resumindo: os triângulos $\;[AOB], \;[BOC],\;[COD]\;$ são equiláteros e iguais e, por isso, é raso o ângulo $\;AÔD = AÔB+BÔC+CÔD\;$ e $\;A,\; O,\; D\;$ são colineares ou seja $\;AD\;$ é um diâmetro de $\;(O\;r)\;$ dividindo-a em duas semi-circunferências.
$\fbox{6}:\;$ Usando circunferências (compassos) podemos determinar pontos equidistantes de $\;A\;$ e $\;D\;$ para além de $\;O\;$. Por exemplo, as intersecções $\;(A, \;C).(D,\;B)\;$ são pontos equidistantes de $\;A\;$ e $\;D\;$ já que $\;[ABC]\;$ e $\;[BCD]\;$ são triângulos isósceles iguais por terem um lado comum igual aos outros dois $\;AB=BC=CD \;$ de onde se tira que $\;AC=BD\;$. Tomemos um desses, por exemplo, $\;E\;$ ponto da mediatriz do diâmetro $\;[AD].\;$
Sabemos que $\;C\;$ e $\;E\;$ são pontos da mesma circunferência $\;(A, \;C)$ e por isso $\;AC=AE.\;$ E sabemos também que o triângulo $\;[ACD]\;$ está inscrito na circunferência $\;(O,\; r)\;$ e, por isso, é um triângulo retângulo em $\;C\;$ de hipotenusa $\;AD,\;$ de onde decorre que $\;AD^2= AC^2+CD^2,\;$ ou seja $\;4r^2=AE^2 +r^2 \equiv AE^2=3r^2\;$.
Também $\;[AEO]\:$ é um triângulo rectângulo. De catetos $\;EO, \;OA\;$ e hipotenusa $\;EA, \;$ logo é $\;EO^2+OA^2=EA^2,\;$ ou seja $\;EO^2 =3r^2-r^2=2r^2.\;$
$\fbox{7}:\;$ Tomando para centros os extremos do diâmetro $\; A\;$ ou $\;D\;$ e raios iguais a $\;OE\;$, as circunferências $\;(A, \;OE)\;$ e $\;(D, \;OE]\;$ intersectam-se em dois pontos $\; F, \;G:\; AF=DF=AG=DG=OE. \;$
$\;[AFD]\;$é um triângulo isósceles de altura $\;FO:\; FO^2 +OA^2 =AF^2=OE^2, \;$ ou seja $\;FO^2=2r^2-r^2=r^2\;$ e isso faz de $\;F\;$ um ponto de $\;(O, \;r).\;$ De forma análoga, se prova que $\;G, \;$ também ponto de $\;(A,\;OE),\;$ incide em $\;(O, \;r).\;$
Podemos concluir que os pontos $\;G, \;D,\; F,\;A\;$ de $\;(O,\;r)\;$ são tais que $\;GD=DF=FA=$
$=AG\;$

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Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.

Interseção de duas retas, usando só o compasso

Nesta entrada realizamos uma construção dinâmica adequada ao problema de

Dados os pontos $\;A, \;B, \;C,\;D\;$ determinar os pontos de intersecção das rectas $\;AB\; $ e $\;CD$ recorrendo unicamente ao compasso moderno

(ou seja com circunferências - cada uma determinada por centro dado ou pré-determinado e a passar por um ponto dado ou pré-determinado ou com um raio determinado por dois pontos pré-determinados)



$\fbox{2}\;:\;$ Determinamos o ponto $\;C':\;C'A=CA \wedge C'B=CB, \;$ ou seja, um ponto de $\; (A,\;C).(C,\;B) =\{C,\; C'\}.\;$ $\;AB\;$ é a mediatriz de $\;CC'\;$
De modo análogo de determina $\;D':\;D'A=DA \wedge D'B=DB\;$
$\fbox{3}\;:\;$ As circunferências $\;(C,\; \overline{DD'})\;$ e $\;(D', \;\overline{CD})\;$ intersectam-se em dois pontos sendo um deles colinear com os pontos $\;C,\;C'\;$
As circunferências $\;(C', \:G)\;$ e $\;(G, \;D')\;$ intersectam-se em dois pontos, sendo um deles $\;E\;$
$\fbox{4}\;:\;$ E as circunferências $\;(C', \;C)\;$ e $\;(G, \;\overline{CE})\;$intersectam-se em dois pontos, um dos quais é $\;F\;$ colinear com $\;E\;$ e $\;C'.\;$
$\fbox{5}\;:\;$Finalmente: as circunferências $\;(G, \;F)\;$ e $\;(C', \;\overline{CF})\;$ intersectam-se em dois pontos equidistantes de $\;C\;$ e $\;C'\;$, ou seja, da mediatriz de $\;[CC']\;$ que como já vimos é a recta $\;AB. \;$
Um desses pontos é $\;X\;$ colinear com $\;C\;$ e $\;D\;$ ou seja incidente em $\;[CD]\;$ e, em consequência, ponto de intersecção de $\;AB\;$ com $\;CD\;$

$\fbox{6}\;:\;$ Caso lhe interesse pode agora ver as rectas e as colinearidades escolhidas menos óbvias. $\;CC' \perp AB ,\; DD' \perp AB,\; CC' \parallel DD', \; CD' = C'D,\; [CD'DC']\;$ é um trapézio isósceles cujas diagonais $\;CD\;$ e $\;C'D'\;$ são iguais em comprimento e intersectam $\;AB\;$ no ponto em que se intersectam $\;DC\;$ com $\;C'D'\; \rightarrow X.$

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seguindo as indicações de
Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.

Intersecção de uma recta AB com uma circunferência C(D) (C em AB, recurso a compasso só)

Vamos retomar o problema da entrada anterior no caso em que $\;C \in AB\;$. Ou seja:
Usando só o compasso moderno, vamos realizar uma construção dinâmica adequada ao problema de

determinar os pontos de intersecção de uma reta que passa por dois pontos dados $\;A, \; B\;$ com uma circunferência de que são dados o centro $\;C,\;$ incidente em $\;AB,\;$ e um dos seus pontos $\;D.\;$

$\;\fbox{1}:\;$ Dados $\;A, \;B$ da recta a que também pertence $\;C\;$ centro de uma circunferência que passa por $\;D\;$ dados.
$\;\fbox{2}:\;$ Com compasso desenhamos as circunferências $\;(C,\;D)\;$ e $\;(A,\;D)\;$ que se intersectam em $\;D, \;E. \;$
Como $\;\overline{AD}=\overline{AE},\;\; A\;$ é um ponto da mediatriz de $\;[DE].\;$
Como $\;D\;$ e $\;E\;$ também estão na mesma circunferência de centro $\;C, \;$ este também é um ponto da mediatriz de $\;[DE].\;$ Se os 3 pontos $\;A, \;B, \;C\;$ são colineares, podemos concluir que AB é a mediatriz de $\;[DE].\;$
$\;\fbox{3}:\;$ Com o compasso, construímos as circunferências

1. uma de centro $\;C\;$ e raio $\; \overline{DE}\;$ e
2. outra de centro $\;E\;$ e raio $\overline{CD}\;$

e guardemos o ponto $\;G\;$ da intersecção das duas, quarto vértice de $\;[DCEG]\;$
$\;\fbox{4}:\;$ Simetricamente guardemos o ponto $\;F\;$ da intersecção $\;(C, \;\overline{DE}).(D,\; \overline{DC}),\;$ quarto vértice de $\;[DCEF]\;$
$\;\fbox{5}:\;$ As circunferências $\;(F, \; \overline{FE})\;$ e $\; (G, \; \overline{GD})\;$ intersectam-se em dois pontos, um deles $\;H,\;$ assinalado na figura.
$\;\fbox{6}:\;$ Finalmente $\;(F, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD}) =\{J,\; K \}\;$ ou $\; =(G, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD})\;$ dão-nos os pontos da intersecção $\;AB . (C, \overline{CD})\;$

Compasso moderno: Intersecção de uma circunferência com uma recta.

Voltamos a problemas de construção para serem resolvidos com ferramentas previamente definidas.
Quatro pontos $\;A,\; B, \;C, \;D\;$ chegam para definir uma reta $\;AB\;$ por exemplo, e uma circunferência de centro $\;C\;$ que passa por $\;D.\;$
O enunciado do problema desta entrada, é, considerando que o centro $\;C\;$ da circunferência não incide na recta $\;AB,\;$ o seguinte:

determinar os pontos de intersecção da reta $\;AB\;$ com a circunferência $\;(C,\; \overline{CD}),\;$ usando só o compasso moderno.

Clicando nos botões da barra ao fundo do rectângulo de visualização:
$\;\fbox{2}\;:\;$ Determinamos o ponto $\;E\;$ tal que $$\;\overline{AC}= \overline{AE} \wedge \overline{BC}= \overline{BE}$$ ou seja que é a intersecção $\; (A,\; \overline{AC}).(B, \;\overline{BC}).$
$\; \fbox{3}\;:\;$ Os pontos $\;F\;$ e $\;G\;$ obtidos como intersecção de $\;(C, \;\overline{CD})\;$ com $\;(E, \;\overline{CD})\;$ são pontos equidistantes de $\;C\;$ e de $\;E :\;$ e são pontos da mediatriz de $\;[CE]\;$
$\; \fbox{4}\;:\;$ Como já tínhamos visto em $\;\fbox{2}\;:\;$ também $\;E, \;C\;$ estão à mesma distância de $\;A\;$ por estarem na circunferência de centro $\;A\;$ e raio $\;\overline{AC},\;$ ou seja $\;A\;$ é um ponto da mediatriz de $\;[CE].\;$ E, por igual razão, $\;B\;$ também é um ponto dessa mediatriz.
Concluindo: $\;F\;$ e $\;G\;$ são colineares com $\;A\;$ e $\;B\;$ e simultaneamente são pontos da circunferência $\;(C, \overline{CD})\;$
Este processo só resolve o problema se $\;C\;$ - o centro da circunferência - não estiver na reta $\;AB\;$ ou seja, não for colinear com $\;A, \;B. \;$

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Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.

Hipocicloides - exemplos de 1 a 10

A construção dinâmica, que ora mostramos, apresenta casos em se consideram circunferências (A,r) de raios 1 a 10 (escolher valor na caixa ao centro) e uma outra circunferência (C,1) de raio 1 que roda em torno de A tangencial interiormente à primeira (A,r).

1. Os pontos de tangência das circunferências (A,r) e (C,r) à partida vão sendo os pontos que assumem posições D sobre (A,r) e (E,1) por rotações da posição $\;B\;$ e de (C,1) em torno de A de ângulo de amplitude $\;\alpha \;$ (dos ângulos BÂD ou DÂB). O arco BD de (A,r) correspondente a BÂD percorrido mede r$\alpha.\;$ De C a E a distância percorrida é (r-1)$\alpha.$
2. Considerando B a posição de um ponto fixado em (C,1), se não há lugar a arrastamento (ou deslizamento), quando (C,1) tiver ocupado a posição (E,1), o ponto fixado nesta circunferência que rola, estará a ocupar uma posição sobre (E,1) tal que o arco correspondente tenha comprimento igual a r$\alpha\;$ do arco BD em (A,r), ou seja, uma posição F (ou G) obtida por rotação de D em torno de E segundo ângulo r$\alpha \;$ (ou G segundo -r$\alpha\;$).
3. Os lugares geométricos de F e G para cada raio e dependentes de $\; \alpha\;$ são apresentados automaticamente, mas podem ser confirmados pela sua deslocação com a variação de $\;\alpha\;$ que pode ser obtida pelos botões ao fundo à esquerda.

14 anos

da Epicicloide à Hipocicloide

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Segue-se um texto que acompanha, etapa a etapa, os passos da construção. Isto é, vão sendo apresentados os elementos um a um. Clicar no botão da animação pode não ter qualquer utilidade enquanto não se mostram os elementos que se sucedem por etapas. Se um elemento não está visível, não se vê o movimento desse elemento. Aconselhamos, por isso, que se utilize o botão de animação só a partir da etapa 3. Como alguns elementos em movimento deixam rasto, pode ser necessário recorrer ao botão de reiniciar para limpar esses rastos.

1. Começamos por mostrar duas circunferências:
   • uma de centro $\;A\;$ e raio $\;r\;$
   • outra de centro $\;C\;$ e raio $\;s,\;$
   • tangentes em $\;B\;$ e $\;\overline{AB}=r=3s=3\overline{CB}\;$
2. Consideremos que a circunferência de centro $\;C\;$ vai rolar em torno de $\;A\;$. Apresenta-se uma outra posição da circunferência de raio $\;s\;$ correspondente a uma rotação de ângulo $\; \alpha \;$ com centro $\;A.\;$ Nessa posição, o ponto de tangência das duas circunferências é uma posição $\;D\;$ tal que o ângulo $\;B\hat{A}D\;$ tem amplitude $\; \alpha \;$ e, pela mesma rotação o ponto $\;C\;$ há de estar agora numa posição $\;E\;$ tal que $\; C\hat{A}E = \;B\hat{A}D = \alpha\;$
3. e o ponto fixo em $\; (C, \;s)\;$ que estava na posição $\; B\;$ inicial há-de estar agora numa nova posição $\;F\;$ de $\;(E,\; s)\; $ e tal que o arco desta, $\; \widehat{DEF},\;$ há-de ter um comprimento igual ao arco $\;\widehat{BAD}=r\alpha\;$ ou seja $\; 3s\alpha .\;$ Mostra-se a trajetória descrita por $\; F\;$ residente fixo da circunferência $\;(E,\; s)\;$ rolante é uma epicicloide (já apresentada antes)





4. O reflexo de $\;F\;$ ao espelho $\;D\;$ é um ponto $\;G\;$ de uma circunferência reflexo de $\;(E,\;s)\;$ e tangente a $\;(A,\;r)\;$ no ponto $\;D\;$ que obviamente se desloca tangencialmente e interiormente a $\;(A\;r).\;$ O ponto $\;G\;$ assim determinado poderia obviamente ser determinado sem qualquer recurso às reflexões de cada um dos pontos $\;F\;$ relativamente a cada ponto (posição) $\;D\;$ que varia com $\; \alpha. \;$ O lugar geométrico dos pontos $\;G\;$ com a variação de $\;D \; \mbox{ou}\; \alpha \;$ é também mostrado. Pode usar a animação para ver os deslocamentos e os traços dos pontos $\; F\; \mbox{e} \;G.\;$ Para limpar esses rastos, clique no botão (à direita alta) de reiniciar.
   Chamo a atenção que todos ângulos de rotação que transformam $\;B\;$ em $\;D\;$ ou $\;C\;$ em $\;E,;$ em torno de $\;A\;$ e $\;D\;$ em $\;F\;$ ou $\;D\;$ em $\;G\;$ em torno de $\;E\;$ têm o mesmo sentido, para além da igualdade das distâncias em arco percorridas relativamente a quaisquer duas posições de $\;D\;$ (ou dois valores de $\; \alpha\;$)por exemplo , $\;r\alpha\;$ de $\;B\;$ até $\;D\;$) ou duas posições de $\;F\;$ ou $\;G\;$ nas respetivas circunferências (por exemplo os arcos de $\;D\;$ a $\;F\;$ e de $\;D\;$ a $\;G\;$ têm comprimento $\; 3s\alpha = r\alpha).$
5. Neste passo, experimentamos ver qual é a trajetória do ponto $\;H\;$ (reflexo de $\;F\;$ no espelho$\;AE\;$) em que são iguais as amplitudes dos ângulos $\;\angle D\hat{E}H\; $ e $\;\angle D\hat{E}F\;$ mas com sentidos opostos e, logo em que o ponto $\;H\;$ é obtido por rotação de $\;D\;$ em torno de $\;E\;$ segundo um ângulo igual mas de sinal ou sentido contrário ao sentido do ângulo da rotação de centro $\;A\;$ que nos leva de $\;B\;$ até $\;D\;$
6. Finalmente, consideramos o ponto $\;I\;$ reflexo de $\;H\;$ ao espelho $\;D\;$ que é ponto da circunferência reflexo de $\;(E,\;s)\;$ no mesmo espelho $\;D\;$ e nos devolve mais uma das hipocicloides - curvas cíclicas assim obtidas: como trajetória de um ponto preso a uma circunferência (geratriz) que rola tangencial e interiormente a uma outra circunferência (directriz).

Epiciclóides

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A pensar que não são precisas quaisquer explicações, aqui fica um pacote de pares de circunferências em que cada uma das circunferências $\;(C,\;s)\;$ rola tangencialmente a $\;(A, \;r)\;$ sendo $$\; 1.5\leq r \leq 4.5\; \wedge s= \frac{5-r}{2}\;$$



Façam o que fizerem, lembrem-se que esta publicação é para lembrar que entrámos em época festiva.

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Notas para quem decidiu não procurar as explicações nas entradas anteriores.

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Nesta entrada, apresentamos uma ilustração dinâmica que junta vários pares de circunferências em que uma delas de raio $\;s\;$ rola, sem deslizar, tangencialmente pelo exterior de outra de raio $\;r.\;$ Para além da variável $\;\alpha \in ] 0, 60\pi[\;$ relacionada com as rotações ds circunferência $\;(C,\;s)\;$ em torno de $\;A\;$ tangencialmente a $\;(A, \;r) \;$ com $\;r \in[1.5, 4.5]\;$ e $\;s=\frac{5-r}{2}.\;$ Tomamos um ponto fixo de $\;(C,\;s)\;$ que inicialmente se encontra na posição $\;B\;$ de ponto de tangência das duas circunferências. Pelas entradas anteriores, já sabemos que quando à circunferência $\;(C,\;s)\;$ é aplicada uma rotação de um ângulo $\;alpha\;$ em torno de $\;A,\;$ ela passa a uma nova posição $\;(C', \;s)\;$ sendo então o ponto de tangência $\;T\;$ tal que o ângulo $\;B\hat{A}T = \alpha\;$ e o ponto $\;B\;$, que nesta nova posição $\;(C',\;s)\;$ da mesmma circunferência - chamemos-lhe $\;T'\;$ - será tal que o comprimento do arco $\;TT'\;$ de $\;(C, \;s)\;$ terá comprimento igual ao arco $\;BT\;$ de $\;(A,\; r), \;$ ou seja, o ângulo $\;T\hat{C'}T' -\;$ chamemos-lhe $\;\beta \;- \;$ será tal que $\;s \beta = r\alpha \;$.
Como sabemos que, em qualquer par das nossas circunferências, $$\;s= \displaystyle \frac{5-r}{2}, \;\mbox{então}\; T\hat{C'}T'= \beta = \frac{2r\alpha}{5-r}.\;$$
Os botões abaixo, servem para fazer variar

• $\;\alpha \;$ e, em consequência, $\;\beta\;$
• $\;r\;$ e, em consequência, $\;s\;$

Para cada valor de $\;r\;$, ao animar $\;alpha\;$, obtemos a epiciclóide relativa, isto é, o lugar geométrico das posições do ponto $\;B\;$ quando a circunferência $\;(C,\;s)\;$ rola em torno de $\;A\;$ tangencialmente a $\;(A, \;r).\;$ Pode parar em qualquer momento e fazer voltar ao valor zero de $\;\alpha\;$ e, querendo ocultar os traços de $\;T'\;$, terá de clicar no botão de reiniciar presente à direita alta do écran.
Ao variar $\;r,\;$ obtém pares de circunferências tangentes de vários raios e pode observar as variações dos epiciclóides, recorrendo ao botão dos LG$T'(r,\;\alpha)\;$ (lugares geométricos). No caso, a variação de $\;r\;$ é acompanhada da variação de $\;r/s\;$ (limitadas sempre a serem razões entre números naturais) que permite observar a relação desta razão com a epiciclóide... com o tipo de corola....
Se mantivermos a imagem inicial ou num fixado valor de $\;\alpha,\;$ ao fazer variar $\;r\;$ e consequentes epiciclóides, obtemos o traço de $\;T'\;$ de um epiciclóide para outro $\;T'(r).\;$ Para um fixado valor de $\;r\;$ ao fazer variar $\; \alpha\;$ o traço de $\;T'\;$ é uma sucessão de pontos de um dado epiciclóide.

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Fazer variar tudo ao mesmo tempo, mostrando os lugares geométricos todos, é BOAS FESTAS

Epiciclóide 5/3

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Nas anteriores entradas, sempre considerámos casos de rolamento de circunferências de raios $\;r, \;s\;$ tais que um deles é múltiplo do outro. E uma volta completa da maior correspondia a um número inteiro de voltas da mais pequena. Por isso, pelo rolamento da circunferência menor, um ponto nela preso, descreve como trajectória uma sucessão de cinco curvas iguais que tomámos por pétalas inteiras contiguas de uma corola em volta da circunferência maior. As construções e os procedimentos usados, bem como as explicações que as acompanharam, respondem a uma parte do problema de quem nos sugeriu este tema (para a nossa interpretação). Nesta entrada, vamos considerar um caso em que cada um dos raios continua a ter um comprimento por número inteiro, mas não divisor um de outro. No caso tomamos circunferências em que os raios r e s se relacionam por $\;3r=5s\;$ ou $\;r/s =5/3.\;$ Ou seja, no seu rolamento, a circunferência de raio $\;s,\;$ numa volta completa de um qualquer dos seus pontos $\;T'\;$ em torno de $\;C'\;$ percorre uma distância $$\; 2\pi s = 2\pi \times \frac{3r}{5}=\frac{3}{5}\times 2\pi r.\;$$ Os pontos de tangência, de um rolamento correspondente a uma volta completa de $\;(C, \;s),\;$ ocupam três de cinco partes iguais do perímetro de $\;(A, \:r)\;$

Pode ser necessário clicar no botão de reiniciar (direita alta) ou no botão de $\;\fbox{|<<}\;$ para voltar ao zero de $\;\alpha .\;$ Chamamos a atenção (e pedimos a paciência necessária) para a baixa velocidade dada à variação de $\; \alpha \;$ que permite obter o razoável traço de curva ao clicar no botão $\;\fbox{>}.\;$



Usando o 1º botão de animação $\;\fbox{>}\;$ de $\;\alpha\;$ para valores $\;[0, \:2\pi]\;$, enquanto os pontos de tangência das duas circunferências ocupam $\;(A,\;r),\;$ as diversas posições de $\;T'(\alpha)\;$ percorrem uma curva que vai de $\;B\;$ ponto comum de partida dos pontos de tangência até $\;B'= \mbox{Rot}_C^{10\pi /3}(B)\in\;\dot{A}B\;$ que obviamente não coincide com $\;B \equiv \mbox{Rot}_A^{2\pi} (B)\;$.
Da primeira pétala, só o primeiro $\;T'_0=B\;$ e o último ponto $\; T_1 = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(B)= \mbox{Rot}_C'^{2\pi}(T_1) \;$ são comuns às duas circunferências $\;(A, \;r), \; (C', \; s),\;$ sendo cada um dos restantes só de uma das circunferências $\;(C', \;s).\;$ A segunda pétala parte do último ponto $\;T_1\;$ da primeira até ao ponto $\;T_2 =\mbox{Rot}_A^{6\pi /5}(B) = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(T_1).\;$ E a terceira começa em $\;T_2\;$ para acabar em $\;T_3 = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(T_2) = \mbox{Rot}_A^{9\pi /5}(B).\;$ A quarta começa em $\; T_3,\;$ para acabar em $\;T_4= \mbox{Rot}_A^{12\pi /5}(B).\;$ E a quinta pétala vai começar em $\;T_4\;$ para acabar em $\;T_5 =\mbox{Rot}_A^{15\pi /5}(B) \equiv B .\;$
Quando a razão dos dois raios não é inteira, temos um certo número de pétalas, no caso 5, mas que têm pontos e mesmo partes em comum.
Como vimos, neste caso e afins, basta procurar o menor múltiplo comum entre os dois raios inteiros para saber o ponto $\;T_6\;$ ou o valor de $\; \alpha \;$ a partir do qual tudo se volta a repetir.

Veremos outros casos em que os raios não sejam inteiros nem sejam inteiras as razões entre eles: racionais, irracionais, etc.

Epiciclóide(5/1)

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Nesta entrada, consideramos duas circunferências de raios $\;r\;$ e $\;s\;$ com centros, respetivamente, em $\;A\;$ e $\;C,\;$ e tangentes em $\;B:\; \;\; (A,\;r), \;(C,\;s)\;$ - sendo $\;r=5 \times s\;$ ou $\;s= \displaystyle \frac{r}{5}\;$.
Um ponto que faça uma volta completa em torno de $\;A\;$ pela circunferência $\;(A, \;r)\;$ faz um percurso de comprimento $\;2\times \pi\times r.\;$
Se considerarmos que é a circunferência $\;(C, \;s)\;$ que rola, sem arrastamento, tangencialmente a $\;(A, \;r)\;$ uma volta inteira, de pontos de tangência, ocupará um arco $\;2\pi r.\;$ E, sendo $\;B\;$ a posição de tangência na partida para a aventura de tal volta, ele tomará posições $\;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B)\;$ enquanto, nas condições do problema de rolamento sem arrastamento, o ponto $\;B,\;$ como ponto fixo de $\;(C, \;s)\;$ terá de tomar posições reais $\;T'\;$ em posições $\;(C',\;T)\;$ obtidas por $\; \mbox{Rot}_A^\alpha(B')\;$ sobre esta, só voltando a ser ponto de tangência a cada volta completa, isto é, quando $\;T'= \mbox{Rot}_{C'}^{2n\pi s}(B) \;\;\; n=1,2,3, ...\;$ coincidir com uma das posições $\;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B) .\;$ Este ponto $\;T'\;$ do qual procuramos saber o seu lugar geométrico quando $\; \alpha\;$ toma valores de $\; [0, n\pi ]\;$ em radianos (com $\;n\;$ natural ), também pode ser obtido por uma rotação do ponto $\;B\;$ de ângulo $\; \alpha\;$ em torno de $\;A\;$ seguida de uma rotação de ângulo $\;r\alpha / s \;$ em torno de $\; C' = \mbox{Rot}_A^\alpha (C)\;$
Para cada $\; \alpha , \;$ o arco de $\;(A,\;r),\; \;\; \widehat{BAT}=r \times \angle B\hat{A}T\;$ ou seja tem comprimento $\; r\times \alpha.\;$ Ao fim da primeira volta de $\;(C, \;s) \;$, a posição $\;B'\;$ é tal que o comprimento do arco $\;\widehat{BCB'} =2 \times \pi \times s = \displaystyle\frac{2 \pi r}{5}\;$ coincidirá com uma posição $\;T_\alpha\;$ em que $\;\alpha =\displaystyle \frac{2\pi}{5}.\;$
São precisas cinco voltas completas de $\;(C,\;s)\;$ para que a posição $\;T\;$ coincida com a posição inicial $\;B.\;$




Por ser $\;s = \displaystyle\frac{r}{5},\;$ ao dar uma volta completa de $\;(C,\;s),\;\;\; T'\;$ percorre um comprimento $\;2\pi s = \displaystyle 2\pi \frac{r}{5}.\;$ É claro que $\;T',\;$ ao tomar todas as posições pontos de $\;(C, s]\;$ no seu rolamento a partir de $\;B,\;$ os pontos $\;T\;$ de tangência passam pela quinta parte da circunferência $\;(A,\;r).\;$ E, só ao fim de cinco voltas, é que $\;T'\;$ que, depois de partir da posição $\;B\;$, a ela volta:
Cinco pétalas, cada uma partilhando um ponto em comum com a contígua, com a roda que rola e com a roda carril.

E se for a roda maior a rolar tangente à menor…

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A entrada anterior sugeriu-nos esta com naturalidade.
Não é preciso fazer qualquer raciocínio novo. A roda de centro $\;A\;$ tem raio $\;1,5\;$ é tangente (em $\;B\;$) à roda de centro $\;C\;$ que tem raio $\;3.\;$ Mostramos ainda o ponto $\;D,\;$ extemidade do diâmetro de $\;(C, 3)\;$ oposta a $\;B.\;$ Já sabemos que a uma rotação de $\;B\;$ em torno de $\;A\;$ de um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$ radianos corresponde um arco de $\;(A)\;$ de comprimento $\;1,5 \times \alpha\;$ em que incidem os pontos de tangência das duas rodas dadas quando $\;(C)\;$ vai rolando (assumindo as posições $\;(C')\;$ imagens de $\;(C)\;$ pelas rotações de ângulos entre $\;B\;$ - ângulo $\;0\;$ - e $\;T\;$ - amplitude de $\;alpha\;$ -) que no rolamento sem arrastamento é igual em comprimento a um arco de $\;(C)\;$ - $$\; 1,5 \times \alpha= \frac{1}{2}(3 \times \alpha)\;$$ Por ser $$\widehat{BCB'}=\widehat{BAT}=\widehat{TC'T'}\;$$ em que $T'$ é um representante das posições do ponto $\;B\;$ considerado fixo em $\;(C)\;$ tomado inicialmente cuja trajectória nos interessa.



Quando $\;(C)\;$ roda em torno de $\;A\;$ tangente a $\;(A)\;$ de uma volta completa $\; 0 \leq \alpha \leq 2\pi \;$ os pontos $\;T'\;$ são posições assumidas numa semicircunferência de $\;(C)\;$ ou seja começando em $\;B\; $ chegam a $\;D\;$ após a volta completa de rolamento em torno de $\;(A).\;$ Seria precisa mais uma volta completa para voltar à posição $\;B\;$ inicial. No intervalo $\;[0, \; 2\pi]\;$ as posições $\;T\;$ percorrem $\;(A)\;$ e as posições $\;T'\;$ em $\;(C')\;$ que correspondem a posições $\;B'\;$ em $\;(C)\;$ percorrem uma curva espiralcom início em $\;B\;$ e interrompida em $\;D\;$ extremidade oposta no diâmetro de $\;(C)\;$. De $\;[2\pi, \; 4\pi]\;$ as posições de $\;T'\;$ vão em espiral de $\;D\;$ a $\;B\;$ imagem do anterior ramo de espiral por reflexão relativamente à meta $\;CA \;$ - partida e chegada do circuito.

Epicicloide

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Nesta entrada, ilustraremos o caso da trajectória de um ponto fixo relativamente a uma circunferência exteriormente tangente a outra sobre a qual a primeira rola sem arrastamento, tal como na entrada anterior. Neste caso, a circunferência carril terá raio duplo do raio da circunferência ou roda que rola sempre à tangente. Já foi referido antes que rolamento sem arrastamento de uma circunferência $\;(C,\;s)\;$ tangente a uma circunferência $\;(A,\;r)\;$ exige que, para um dado valor de ângulo $\;\alpha \;$ de rotação de $\;(C, \;s)\;$ em torno de $\;A,\;$ o comprimento do arco de $\;(A,\; r)\; $ - $\;r\times \alpha -\;$ correspondente ao ângulo ao seu centro de amplitude $\;\alpha, \;$ entre dois dos seus pontos (de tangência) terá de ser igual em comprimento ao arco de $\;(C,\;s)\;$ - $\;s\times \beta -\;$ correspondente ao seu ângulo ao centro de amplitude $\;\beta \;$ entre o primeiro ponto de tangência de partida e o correspondente à sua rotação em torno de $\;C\;$ da outra em torno de $\;A.\;$ Resumindo:
Rolamento sem deslizamento de uma circunferência de raio s tangencial exteriormente a uma circunferência de raio r exige que $\;s\beta = r\alpha, \;$ ou seja, $\; \beta = \frac{r}{s} \alpha .\;$

No caso de $\;r=2s\;$ o comprimento percorrido por um ponto $\;B\;$ quando roda em torno de $\;C\;$ tem de ser feito duas vezes para percorrer o correspondente comprimento quando roda em torno de $\;A\;$ de um ângulo $\;\alpha\;$ que tem comprimento duplo do comprimento percorrido entre os dois pontos de tangência em $\;(A,\;r).\;$ Na figura que se segue, os raios têm comprimentos $\;r=3, \; s=1,5\;$



Como esperávamos, $\; T' = Rot(T,2\alpha, C) \;$ parte de B e volta a B ao fim de uma volta completa de $\;T \in [0, \;2\pi]\;$ em torno de $\;A\;$ que corresponde a rotação de duas voltas $\;T'\;$ em torno de $\;C'\;$ (ou duas voltas de $\;B'\;$ em torno de $\;C.\;$) Também fica claro que $\;T'\;$ toca $\;(A, \;3)\;$ noutra posição para além de $\;B\;$ correspondente a $\; \alpha = \pi = \displaystyle \frac{1,5}{3}\times 2\pi \; $ - o que nos esclarece porque temos duas pétalas completas.....

Roda a rolar tangencialmente e pelo exterior de outra roda

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O problema que sugeriu a abordagem do estudo das trajectórias de pontos de uma roda quando ela roda, sem deslizar, tangencialmente a outra roda foi sugerido pelo enunciado

Suppose a círcle of radíus r uníts Is rolled around the outsíde of a clrc1e of radius R uníts, R> r. If a marking instrument is attached to the smaller círcle at a particular poínt P, then the pattern created by this markíng instrument and the statíonary large circle will be that of a stylízed, petaled flower, provided r and R are related ln a special way. What is this specíal way in which r and R must be related in arder that there will be no "partial petals"?

lido da pagina 17 de Geometry / Axiomatic Developments with Problem Solving de Earl Perry, (publicado pela Marcel Dekker, Inc. NewYork:1992)

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Tomemos uma circunferência de centro $\;A\;$ raio $\;2\;$ e, sobre ela, um ponto $\;B.\;$ Tomemos outra circunferência tangente à primeira em $\;B.\;$ Nesta entrada, consideremos esta circunferência de centro $\;C\;$ e de raio $\;2.\;\; C,\; B,\; A\;$ são colineares e $\;CB=BA=2,\;$ que constituem os elementos de uma partida e chegada da experiência para estudo da trajectória de um ponto $\;B\;$ fixo de $\;(C,\;2)\;$ quando acompanha esta na sua deslocação tangencial a $\;(A,\;2)\;$

Quando a circunferência $\;(C, \;2)\;$ rodar em torno de $\;A\;$ de um ângulo $\; \alpha, \;$ tangencialmente percorre um arco de comprimento $\;2\alpha\;$ enquanto o seu centro $\;C\;$ percorre um arco de $\;\;(A, \;4)\;$ de comprimento $\;4.\alpha.\;$ Considerada $\;(C, \;B)\;$ a posição inicial, após rodar $\;\alpha\;$ em torno de $\;A\;$ ocupa uma posição $\;(C',\;T)\;$ em que $\;T\;$ é o novo ponto de tangência das duas rodas $\;(A, \;2),\;$(posição fixa) e $\;(C, \;2)\;$ (posição variável tangente à primeira). Ao rodar sem arrastamento, $\;B\;$ de $\;(C,\;2)\;$ passa à posição $\;F\;$ de $\;(D,\;2)\;$ (correspondente à posição $\;E\;$ de $\;(C, \;2)\;$ caso esta rodasse em torno de $\;C\;$ sem mudar de posição, o que é o mesmo que dizer sem rolar, já que o ponto de tangência manter-se-ia na posição do ponto $\;B\;$ de $\;(A, \;2).\;$) Dizer que $\;(C, \;2)\;$ rola sem deslizar tangencialmente a $\;(A, \;2)\;$ é dizer que as posições dos pontos de tangência $\;T\;$ ocupam um arco $\; \widehat{BOT}\;$ da circunferência $\;(A, \;2]\;$ de comprimento igual ao dos arcos $\; \widehat{BCE}\;$ de $\;(C,\;B)\;$ e $\; \widehat{TC'F}\;$ de $\;(C',\;2)\;$ que, para cada valor de $\;\alpha, \;$ é, no caso da nossa construção, $\; 2\alpha .\;$

Na nossa construção dinâmica, abaixo apresentada, pode deslocar o cursor (esquerda alta) para variar o ângulo $\;\alpha \;$ de rotação e ver a evolução do rolamento e do comportamento de $\;(C')\;$ e dos seus pontos. E pode sempre limpar o desenho, clicando no botão de reiniciar na direita alta





O que nos interessa será ver a trajectória do ponto $\;F\;$ (variável com as posições $\;(C',\;T),\;$ cada uma delas correspondente a um dos valores de $\;\alpha\;$ em $\;[0, \; 2\pi],\;$ no caso da nosssa construção).

Na esquerda baixa

• Os botões $\;\fbox{  >  }\; \mbox{e} \;\fbox{  ||  } \;$ permitem animar o rolamento e fazê-lo parar em qualquer momento.
• Clicando sobre a caixa $\;\fbox{   \\   }\;$ obtém o lugar geométrico dos pontos $\;F\;$ (em função de $\; \alpha\;$) e
• verificar que, no caso deste rolamento em que ambas as circunferências têm o mesmo raio, ao fim de uma volta completa - $\; 0 ≤\alpha ≤ 2\pi \;$ - $\;F\;$ parte de $\;B\;$ e chega a $\;B\;$ sem tocar noutro ponto de $\;(A, \;2)\;$ o que significa que se obtém uma flor em volta de $\;(A)\;$ de uma só pétala……… inteira e cordial
  em forma de coração ou cardióide.

Cicloides- 3

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Tomámos uma circunferência de centro $\;A\;$ tangente a uma linha reta num ponto $\;O\;$ - ponto de partida para a circunferência de raio $\;\overline{AO}.\;$ Estes pontos de partida representam as posições iniciais.

$\fbox{1.}\;\;$ A roda circular (circunferência e círculo) vai rolar sobre uma linha reta $\;r\;$ que sabemos passar por $\;O.\;$ Quando consideramos a rotação de um ângulo $\;\alpha\;$ em torno de cada posição de $\;A\;$ as novas posições de $\;(A,\;O)\;$ serão $\;(A',\;P)\;$ tais $\; \overline{AA'} = \overline{OP}= \overline{AO} \times \alpha \;$ comprimentos de segmentos de retas paralelas, sendo $\;P\;$ o novo ponto tangência da roda com a estrada $\;r\;$ e sobre a nova circunferência $\;(A',P)\;$ a posição correspondente a $\;O\;$ será um ponto $\;O''\;$ tal que $\; \angle P\hat{A'}O'' = \alpha,\;$ ou seja, o arco $\;\widehat{PA'O''},\;$ da circunferência $\;(A',P)\;$ correspondente a um ângulo ao centro de $\;\alpha\;$ radianos, terá comprimento $\overline{AO} \times \alpha = \overline{A'O'} \times \alpha =\overline{AA'}=\overline{OP}.\;$
As posições $\;O''\;$ descrevem uma curva a que chamamos ciclóide. Pode visualizar o comportamento das posições desse ponto, fazendo variar os valores em radianos de $\;\alpha \;$ no selector na direita alta da janela da construção e pode também ver essa curva apresentada como lugar geométrico, o terceiro do quadro de lugares geométricos na direita baixa


$\fbox{2.}\;\;$ Um ponto $\;B\;$ solidário com a circunferência $\;(A,\;O),\;$ no sentido de acompanhar as dores e as deslocações dela, de tal modo que as diferentes posições
  i)   $\;B'\;$ de $\;(A,\;B) \;$ correspondentes a cada amplitude $\; \alpha\;$ são tais que $\; \overline{AB} \times \alpha \;$ que é o comprimento do arco $\; \widehat{BAB'}\;$ correspondente ao ângulo $\; \alpha \;$ ao centro $\;A\;$ da circunferência $\;(A, B)\;$
  ii)   e, da mesma forma como vimos para $\;\overline{O'O''}, \;$ podemos concluir que $\; \overline{B'B''}=\overline{AB}\times \alpha > \overline{OP}\;\;$. Esta última desigualdade é óbvia por termos tomado $\;B\;$ exterior a $\;(A,O)\;$
Para compreender o comportamento de $\;B', B''\;$ pode reinicar a janela e mover o cursor de variação dos valores em radianos de $\; \alpha\;$ e é natural que consideremos a trajetória de $\;B''\;$ como uma cicloide (pelo menos, óbvia relativamente a $\;(A, B)\;$)

$\fbox{3.}\;\;$ O ponto $\;C\;$ interior a $\;(A,\;O)\;$ e as posições $\;C'\;$ da circunferência $\;(A, \;C)\;$ imagens de $\;C\;$ obtidas por Rotação$\;(A,\;\alpha)\;$ e as posições $\;C"\;$ imagens de $\;C'\;$ por translação segundo as direcção e sentido de $\;\overrightarrow{OP}\;$ e comprimento $\;\overline{AC}\times \alpha < \overline{OP}\;$ porque o ponto $\;C\;$ do interior de $\;(A,O)\;$ roda sobre a circunferência $\;(A, \;C)\;$ de raio $\;\overline{AC}\;$ menor que $\; \overline{AO},\;$ raio de $\;(A,O).\;$
Esta curva (lugar geométrico das posições $\;C''\;$) é uma cicloide tão naturalmente como as outras.


NOTA: Os casos das posições $\;A'\;$ e $\;P\;$ ou mesmo $\;O''\;$ podem ser considerados casos particulares das duas últimas...