Nas anteriores entradas, sempre considerámos casos de rolamento de circunferências de raios $\;r, \;s\;$ tais que um deles é múltiplo do outro. E uma volta completa da maior correspondia a um número inteiro de voltas da mais pequena. Por isso, pelo rolamento da circunferência menor, um ponto nela preso, descreve como trajectória uma sucessão de cinco curvas iguais que tomámos por pétalas inteiras contiguas de uma corola em volta da circunferência maior. As construções e os procedimentos usados, bem como as explicações que as acompanharam, respondem a uma parte do problema de quem nos sugeriu este tema (para a nossa interpretação). Nesta entrada, vamos considerar um caso em que cada um dos raios continua a ter um comprimento por número inteiro, mas não divisor um de outro. No caso tomamos circunferências em que os raios r e s se relacionam por $\;3r=5s\;$ ou $\;r/s =5/3.\;$ Ou seja, no seu rolamento, a circunferência de raio $\;s,\;$ numa volta completa de um qualquer dos seus pontos $\;T'\;$ em torno de $\;C'\;$ percorre uma distância $$\; 2\pi s = 2\pi \times \frac{3r}{5}=\frac{3}{5}\times 2\pi r.\;$$ Os pontos de tangência, de um rolamento correspondente a uma volta completa de $\;(C, \;s),\;$ ocupam três de cinco partes iguais do perímetro de $\;(A, \:r)\;$
Pode ser necessário clicar no botão de reiniciar (direita alta) ou no botão de $\;\fbox{|<<}\;$ para voltar ao zero de $\;\alpha .\;$ Chamamos a atenção (e pedimos a paciência necessária) para a baixa velocidade dada à variação de $\; \alpha \;$ que permite obter o razoável traço de curva ao clicar no botão $\;\fbox{>}.\;$
Usando o 1º botão de animação $\;\fbox{>}\;$ de $\;\alpha\;$ para valores $\;[0, \:2\pi]\;$, enquanto os pontos de tangência das duas circunferências ocupam $\;(A,\;r),\;$ as diversas posições de $\;T'(\alpha)\;$ percorrem uma curva que vai de $\;B\;$ ponto comum de partida dos pontos de tangência até $\;B'= \mbox{Rot}_C^{10\pi /3}(B)\in\;\dot{A}B\;$ que obviamente não coincide com $\;B \equiv \mbox{Rot}_A^{2\pi} (B)\;$.
Da primeira pétala, só o primeiro $\;T'_0=B\;$ e o último ponto $\; T_1 = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(B)= \mbox{Rot}_C'^{2\pi}(T_1) \;$ são comuns às duas circunferências $\;(A, \;r), \; (C', \; s),\;$ sendo cada um dos restantes só de uma das circunferências $\;(C', \;s).\;$ A segunda pétala parte do último ponto $\;T_1\;$ da primeira até ao ponto $\;T_2 =\mbox{Rot}_A^{6\pi /5}(B) = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(T_1).\;$ E a terceira começa em $\;T_2\;$ para acabar em $\;T_3 = \mbox{Rot}_A^{3\pi /5}(T_2) = \mbox{Rot}_A^{9\pi /5}(B).\;$ A quarta começa em $\; T_3,\;$ para acabar em $\;T_4= \mbox{Rot}_A^{12\pi /5}(B).\;$ E a quinta pétala vai começar em $\;T_4\;$ para acabar em $\;T_5 =\mbox{Rot}_A^{15\pi /5}(B) \equiv B .\;$
Quando a razão dos dois raios não é inteira, temos um certo número de pétalas, no caso 5, mas que têm pontos e mesmo partes em comum.
Como vimos, neste caso e afins, basta procurar o menor múltiplo comum entre os dois raios inteiros para saber o ponto $\;T_6\;$ ou o valor de $\; \alpha \;$ a partir do qual tudo se volta a repetir.
Veremos outros casos em que os raios não sejam inteiros nem sejam inteiras as razões entre eles: racionais, irracionais, etc.
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