Segue-se um texto que acompanha, etapa a etapa, os passos da construção. Isto é, vão sendo apresentados os elementos um a um. Clicar no botão da animação pode não ter qualquer utilidade enquanto não se mostram os elementos que se sucedem por etapas. Se um elemento não está visível, não se vê o movimento desse elemento. Aconselhamos, por isso, que se utilize o botão de animação só a partir da etapa 3. Como alguns elementos em movimento deixam rasto, pode ser necessário recorrer ao botão de reiniciar para limpar esses rastos.
- Começamos por mostrar duas circunferências:
- uma de centro \;A\; e raio \;r\;
- outra de centro \;C\; e raio \;s,\;
- tangentes em \;B\; e \;\overline{AB}=r=3s=3\overline{CB}\;
- Consideremos que a circunferência de centro \;C\; vai rolar em torno de \;A\;. Apresenta-se uma outra posição da circunferência de raio \;s\; correspondente a uma rotação de ângulo \; \alpha \; com centro \;A.\; Nessa posição, o ponto de tangência das duas circunferências é uma posição \;D\; tal que o ângulo \;B\hat{A}D\; tem amplitude \; \alpha \; e, pela mesma rotação o ponto \;C\; há de estar agora numa posição \;E\; tal que \; C\hat{A}E = \;B\hat{A}D = \alpha\;
- e o ponto fixo em \; (C, \;s)\; que estava na posição \; B\; inicial há-de estar agora numa nova posição \;F\; de \;(E,\; s)\; e tal que o arco desta, \; \widehat{DEF},\; há-de ter um comprimento igual ao arco \;\widehat{BAD}=r\alpha\; ou seja \; 3s\alpha .\; Mostra-se a trajetória descrita por \; F\; residente fixo da circunferência \;(E,\; s)\; rolante é uma epicicloide (já apresentada antes)
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O reflexo de \;F\; ao espelho \;D\; é um ponto \;G\; de uma circunferência reflexo de \;(E,\;s)\; e tangente a \;(A,\;r)\; no ponto \;D\; que obviamente se desloca tangencialmente e interiormente a \;(A\;r).\; O ponto \;G\; assim determinado poderia obviamente ser determinado sem qualquer recurso às reflexões de cada um dos pontos \;F\; relativamente a cada ponto (posição) \;D\; que varia com \; \alpha. \; O lugar geométrico dos pontos \;G\; com a variação de \;D \; \mbox{ou}\; \alpha \; é também mostrado. Pode usar a animação para ver os deslocamentos e os traços dos pontos \; F\; \mbox{e} \;G.\; Para limpar esses rastos, clique no botão (à direita alta) de reiniciar.
Chamo a atenção que todos ângulos de rotação que transformam \;B\; em \;D\; ou \;C\; em \;E,; em torno de \;A\; e \;D\; em \;F\; ou \;D\; em \;G\; em torno de \;E\; têm o mesmo sentido, para além da igualdade das distâncias em arco percorridas relativamente a quaisquer duas posições de \;D\; (ou dois valores de \; \alpha\;)por exemplo , \;r\alpha\; de \;B\; até \;D\;) ou duas posições de \;F\; ou \;G\; nas respetivas circunferências (por exemplo os arcos de \;D\; a \;F\; e de \;D\; a \;G\; têm comprimento \; 3s\alpha = r\alpha). - Neste passo, experimentamos ver qual é a trajetória do ponto \;H\; (reflexo de \;F\; no espelho\;AE\;) em que são iguais as amplitudes dos ângulos \;\angle D\hat{E}H\; e \;\angle D\hat{E}F\; mas com sentidos opostos e, logo em que o ponto \;H\; é obtido por rotação de \;D\; em torno de \;E\; segundo um ângulo igual mas de sinal ou sentido contrário ao sentido do ângulo da rotação de centro \;A\; que nos leva de \;B\; até \;D\;
- Finalmente, consideramos o ponto \;I\; reflexo de \;H\; ao espelho \;D\; que é ponto da circunferência reflexo de \;(E,\;s)\; no mesmo espelho \;D\; e nos devolve mais uma das hipocicloides - curvas cíclicas assim obtidas: como trajetória de um ponto preso a uma circunferência (geratriz) que rola tangencial e interiormente a uma outra circunferência (directriz).
