António Aurélio Fernandes, o (há mais tempo) crítico e nunca satisfeito militante deste jovem :-) blog, tem sistematicamente levantado dúvidas (que todos acompanhamos) sobre velhíssimos problemas relacionados com o que sejam os teoremas de construção usando tão só cada uma ou as duas ferramentas euclidianas - régua (recta: dois pontos distintos) e compasso (circunferência: dois pontos tomando um deles para centro da circunferência e o outro um ponto dela, 3 pontos distintos não colineares).
Para António Aurélio Fernandes, com a devida vénia a Howard Eves, traduzimos (muito provavelmente mal e transcrevemos do seu livro Fundamentals of Modern Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1972; pp 130 e 131) o excerto
"(3.5.3 Teorema de construção de Mohr-Mascheroni.
Qualquer construção euclidiana, para a qual os elementos dados e necessários são pontos, pode ser realizada somente com o compasso euclidiano.
Numa construção euclidiana, cada novo ponto é determinado como uma intersecção de duas círcunferências, de uma linha reta e uma circunferência, ou de duas linhas retas, e a construção, por mais complicada que seja, é a sucessão de um número finito desses procedimentos."
Nota à margem:
Podemos falar só de compasso por termos provado já que os compassos euclidiano e moderno são equivalentes, como pode verifiar por esta construção ilustrativa da equivalência.
Nos passos de 1 (dados A,B e O)até 5, é utilizado exclusivamente o compasso euclidiano (circunferência definida por dois pontos dados, um deles para centro e outro sobre a circunferência), para determinar a circunferência de centro O e raio AB. No passo 6, utiliza-se o compasso moderno: a ponta seca do compasso (vermelho) em A e a outra ponta em B, AB transportado para O, definindo desse modo a cirunferência de centro em O e raio AB - um só passo- que coincide com a circunferência antes obtida em 5 passos.
| Compasso euclidiano | Compasso moderno | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | O(A), A(O) | 4 | C(B), D(B) | 6 | O(AB) |
| 3 | O(A).A(O)={C,D} | 5 | C(B).D(B) = {B,E} | O(AB)=O(E)? | |
| OA=OC=OD | BC=CE, DB=BE | AB=OE? | |||
| ΔADO e ΔCAO equiláteros e ΔDBE isósceles sendo CD a reta das suas alturas, OABE é um trapézio de bases DA e BE isósceles .....AB=BD=DE=EO ----> | AB=OE | ||||
I. Dados A, B, C, D, encontre os pontos de intersecção de A(B) e C(D).
II.Dados A, B, C, D, encontre os pontos de intersecção de AB e C(D).
III.Dados A, B, C, D, encontre o ponto de intersecção de AB e CD.
É de notar que a nossa prova do Teorema da construção de Mohr - Mascheroni é mais do que uma mera prova de existência, pois não só mostramos a existência de uma construção que utiliza apenas o compasso euclidiano que pode substituir qualquer construção euclidiana, mas mostrando como tal construção pode realmente ser obtida a partir da construção euclidiana dada. Deve-se confessar, no entanto, que a construção resultante usando apenas o compasso euclidiano seria, com toda probabilidade, muito mais complicada do que o necessário. A tarefa de encontrar uma construção "mais simples", empregando apenas o compasso euclidiano, ou mesmo apenas o compasso moderno, é, em geral, muito difícil, e requer considerável engenho ao solucionador."
Sobre estes problemas: I. é óbvio e II. e III. foram resolvidos em entradas recentes, que pode consultar. Esperamos que A.A. Fernandes aceite o facto de já termos feitos uma demonstração (exactamente a via escolhida por Mascheroni)"
Lembramos as entradas relacionadas as questões construtivas que se levantam ao Teorema de Mohr-Mascheroni: 12.01.14: Instrumentos euclidianos
14.1.14: O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.
16.1.14: Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias
14.01.19: Determinar os pontos de intersecção da reta AB com a circunferência (C,CD), usando só o compasso moderno.
15.01.19: Determinar os pontos de intersecção de uma reta que passa por dois pontos dados A,B com uma circunferência de que são dados o centro C, incidente em AB, e um dos seus pontos D.
24.01.19: Dados os pontos A,B,C,D determinar os pontos de intersecção das rectas AB e CD recorrendo unicamente ao compasso moderno
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