18.2.19

Dividir por 2 a compasso

Problema: Usando só o compasso, determinar o ponto médio de um segmento dado.

Em entradas anteriores abordámos a multiplicação por 2, usando só o compasso. Nesta estamos a multiplicar por 1/2.
Sigamos os passos da construção adequada.

1    Apresentam-se dois pontos A, B.



2.    As circunferências (A,B), (B,A) intersectam-se em dois pontos. Qualquer deles é equidistante de A e B e está á distancia AB. Chamamos C a um desses pontos e sabemos que AB=BC=CA ou que ABC é um triângulo equilátero. As circunferências (B,A) e (C,B) intersectam-se em pontos equidistantes de B e C. Chamamos a um desses pontos D e sabemos que BD=DC=CA=AB. Finalmente, usamos uma circunferência (D,C) que intersectada com (C,B) nos dá um ponto E tal que ED=DC=CB=BA. Concluímos o ponto B é vértice comum a três triângulos equiláteros e a três ângulos iguais entre si e aos ângulos DEB=.... E é colinear com A e B e sendo EB=BA, AE =2AB.

3.    As circunferências (E,A) e (A, B) intersectam-se em dois pontos F e G tais que EF = EG = EA = 2AB e FA = AG = AB. Os triângulos ABG e AFB são iguais isósceles de bases BG e AB e os triângulos EGA e AFE também são triângulos isósceles iguais de bases AG e AF.

4.     Finalmente consideramos as circunferências (F, A) e (G, A) que se intersectam, para além de A, num ponto H tal que GH=HF=FA=AG. Os triângulos AFH e HGA são tais que AF=FH=HG=GA=AB (F,G,B pontos de (A,B) e A, H são pontos da (A,F).(A,G)).

Este ponto H é o tal que AH=HB □(?) Para já, só prometo que vou continuar a olhar por ele ou para ele como até aqui....

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