da Epicicloide à Hipocicloide

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Segue-se um texto que acompanha, etapa a etapa, os passos da construção. Isto é, vão sendo apresentados os elementos um a um. Clicar no botão da animação pode não ter qualquer utilidade enquanto não se mostram os elementos que se sucedem por etapas. Se um elemento não está visível, não se vê o movimento desse elemento. Aconselhamos, por isso, que se utilize o botão de animação só a partir da etapa 3. Como alguns elementos em movimento deixam rasto, pode ser necessário recorrer ao botão de reiniciar para limpar esses rastos.

1. Começamos por mostrar duas circunferências:
   • uma de centro $\;A\;$ e raio $\;r\;$
   • outra de centro $\;C\;$ e raio $\;s,\;$
   • tangentes em $\;B\;$ e $\;\overline{AB}=r=3s=3\overline{CB}\;$
2. Consideremos que a circunferência de centro $\;C\;$ vai rolar em torno de $\;A\;$. Apresenta-se uma outra posição da circunferência de raio $\;s\;$ correspondente a uma rotação de ângulo $\; \alpha \;$ com centro $\;A.\;$ Nessa posição, o ponto de tangência das duas circunferências é uma posição $\;D\;$ tal que o ângulo $\;B\hat{A}D\;$ tem amplitude $\; \alpha \;$ e, pela mesma rotação o ponto $\;C\;$ há de estar agora numa posição $\;E\;$ tal que $\; C\hat{A}E = \;B\hat{A}D = \alpha\;$
3. e o ponto fixo em $\; (C, \;s)\;$ que estava na posição $\; B\;$ inicial há-de estar agora numa nova posição $\;F\;$ de $\;(E,\; s)\; $ e tal que o arco desta, $\; \widehat{DEF},\;$ há-de ter um comprimento igual ao arco $\;\widehat{BAD}=r\alpha\;$ ou seja $\; 3s\alpha .\;$ Mostra-se a trajetória descrita por $\; F\;$ residente fixo da circunferência $\;(E,\; s)\;$ rolante é uma epicicloide (já apresentada antes)





4. O reflexo de $\;F\;$ ao espelho $\;D\;$ é um ponto $\;G\;$ de uma circunferência reflexo de $\;(E,\;s)\;$ e tangente a $\;(A,\;r)\;$ no ponto $\;D\;$ que obviamente se desloca tangencialmente e interiormente a $\;(A\;r).\;$ O ponto $\;G\;$ assim determinado poderia obviamente ser determinado sem qualquer recurso às reflexões de cada um dos pontos $\;F\;$ relativamente a cada ponto (posição) $\;D\;$ que varia com $\; \alpha. \;$ O lugar geométrico dos pontos $\;G\;$ com a variação de $\;D \; \mbox{ou}\; \alpha \;$ é também mostrado. Pode usar a animação para ver os deslocamentos e os traços dos pontos $\; F\; \mbox{e} \;G.\;$ Para limpar esses rastos, clique no botão (à direita alta) de reiniciar.
   Chamo a atenção que todos ângulos de rotação que transformam $\;B\;$ em $\;D\;$ ou $\;C\;$ em $\;E,;$ em torno de $\;A\;$ e $\;D\;$ em $\;F\;$ ou $\;D\;$ em $\;G\;$ em torno de $\;E\;$ têm o mesmo sentido, para além da igualdade das distâncias em arco percorridas relativamente a quaisquer duas posições de $\;D\;$ (ou dois valores de $\; \alpha\;$)por exemplo , $\;r\alpha\;$ de $\;B\;$ até $\;D\;$) ou duas posições de $\;F\;$ ou $\;G\;$ nas respetivas circunferências (por exemplo os arcos de $\;D\;$ a $\;F\;$ e de $\;D\;$ a $\;G\;$ têm comprimento $\; 3s\alpha = r\alpha).$
5. Neste passo, experimentamos ver qual é a trajetória do ponto $\;H\;$ (reflexo de $\;F\;$ no espelho$\;AE\;$) em que são iguais as amplitudes dos ângulos $\;\angle D\hat{E}H\; $ e $\;\angle D\hat{E}F\;$ mas com sentidos opostos e, logo em que o ponto $\;H\;$ é obtido por rotação de $\;D\;$ em torno de $\;E\;$ segundo um ângulo igual mas de sinal ou sentido contrário ao sentido do ângulo da rotação de centro $\;A\;$ que nos leva de $\;B\;$ até $\;D\;$
6. Finalmente, consideramos o ponto $\;I\;$ reflexo de $\;H\;$ ao espelho $\;D\;$ que é ponto da circunferência reflexo de $\;(E,\;s)\;$ no mesmo espelho $\;D\;$ e nos devolve mais uma das hipocicloides - curvas cíclicas assim obtidas: como trajetória de um ponto preso a uma circunferência (geratriz) que rola tangencial e interiormente a uma outra circunferência (directriz).

Roda a rolar tangencialmente e pelo exterior de outra roda

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O problema que sugeriu a abordagem do estudo das trajectórias de pontos de uma roda quando ela roda, sem deslizar, tangencialmente a outra roda foi sugerido pelo enunciado

Suppose a círcle of radíus r uníts Is rolled around the outsíde of a clrc1e of radius R uníts, R> r. If a marking instrument is attached to the smaller círcle at a particular poínt P, then the pattern created by this markíng instrument and the statíonary large circle will be that of a stylízed, petaled flower, provided r and R are related ln a special way. What is this specíal way in which r and R must be related in arder that there will be no "partial petals"?

lido da pagina 17 de Geometry / Axiomatic Developments with Problem Solving de Earl Perry, (publicado pela Marcel Dekker, Inc. NewYork:1992)

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Tomemos uma circunferência de centro $\;A\;$ raio $\;2\;$ e, sobre ela, um ponto $\;B.\;$ Tomemos outra circunferência tangente à primeira em $\;B.\;$ Nesta entrada, consideremos esta circunferência de centro $\;C\;$ e de raio $\;2.\;\; C,\; B,\; A\;$ são colineares e $\;CB=BA=2,\;$ que constituem os elementos de uma partida e chegada da experiência para estudo da trajectória de um ponto $\;B\;$ fixo de $\;(C,\;2)\;$ quando acompanha esta na sua deslocação tangencial a $\;(A,\;2)\;$

Quando a circunferência $\;(C, \;2)\;$ rodar em torno de $\;A\;$ de um ângulo $\; \alpha, \;$ tangencialmente percorre um arco de comprimento $\;2\alpha\;$ enquanto o seu centro $\;C\;$ percorre um arco de $\;\;(A, \;4)\;$ de comprimento $\;4.\alpha.\;$ Considerada $\;(C, \;B)\;$ a posição inicial, após rodar $\;\alpha\;$ em torno de $\;A\;$ ocupa uma posição $\;(C',\;T)\;$ em que $\;T\;$ é o novo ponto de tangência das duas rodas $\;(A, \;2),\;$(posição fixa) e $\;(C, \;2)\;$ (posição variável tangente à primeira). Ao rodar sem arrastamento, $\;B\;$ de $\;(C,\;2)\;$ passa à posição $\;F\;$ de $\;(D,\;2)\;$ (correspondente à posição $\;E\;$ de $\;(C, \;2)\;$ caso esta rodasse em torno de $\;C\;$ sem mudar de posição, o que é o mesmo que dizer sem rolar, já que o ponto de tangência manter-se-ia na posição do ponto $\;B\;$ de $\;(A, \;2).\;$) Dizer que $\;(C, \;2)\;$ rola sem deslizar tangencialmente a $\;(A, \;2)\;$ é dizer que as posições dos pontos de tangência $\;T\;$ ocupam um arco $\; \widehat{BOT}\;$ da circunferência $\;(A, \;2]\;$ de comprimento igual ao dos arcos $\; \widehat{BCE}\;$ de $\;(C,\;B)\;$ e $\; \widehat{TC'F}\;$ de $\;(C',\;2)\;$ que, para cada valor de $\;\alpha, \;$ é, no caso da nossa construção, $\; 2\alpha .\;$

Na nossa construção dinâmica, abaixo apresentada, pode deslocar o cursor (esquerda alta) para variar o ângulo $\;\alpha \;$ de rotação e ver a evolução do rolamento e do comportamento de $\;(C')\;$ e dos seus pontos. E pode sempre limpar o desenho, clicando no botão de reiniciar na direita alta





O que nos interessa será ver a trajectória do ponto $\;F\;$ (variável com as posições $\;(C',\;T),\;$ cada uma delas correspondente a um dos valores de $\;\alpha\;$ em $\;[0, \; 2\pi],\;$ no caso da nosssa construção).

Na esquerda baixa

• Os botões $\;\fbox{  >  }\; \mbox{e} \;\fbox{  ||  } \;$ permitem animar o rolamento e fazê-lo parar em qualquer momento.
• Clicando sobre a caixa $\;\fbox{   \\   }\;$ obtém o lugar geométrico dos pontos $\;F\;$ (em função de $\; \alpha\;$) e
• verificar que, no caso deste rolamento em que ambas as circunferências têm o mesmo raio, ao fim de uma volta completa - $\; 0 ≤\alpha ≤ 2\pi \;$ - $\;F\;$ parte de $\;B\;$ e chega a $\;B\;$ sem tocar noutro ponto de $\;(A, \;2)\;$ o que significa que se obtém uma flor em volta de $\;(A)\;$ de uma só pétala……… inteira e cordial
  em forma de coração ou cardióide.