Tomámos uma circunferência de centro $\;A\;$ tangente a uma linha reta num ponto $\;O\;$ - ponto de partida para a circunferência de raio $\;\overline{AO}.\;$ Estes pontos de partida representam as posições iniciais.
$\fbox{1.}\;\;$ A roda circular (circunferência e círculo) vai rolar sobre uma linha reta $\;r\;$ que sabemos passar por $\;O.\;$ Quando consideramos a rotação de um ângulo $\;\alpha\;$ em torno de cada posição de $\;A\;$ as novas posições de $\;(A,\;O)\;$ serão $\;(A',\;P)\;$ tais $\; \overline{AA'} = \overline{OP}= \overline{AO} \times \alpha \;$ comprimentos de segmentos de retas paralelas, sendo $\;P\;$ o novo ponto tangência da roda com a estrada $\;r\;$ e sobre a nova circunferência $\;(A',P)\;$ a posição correspondente a $\;O\;$ será um ponto $\;O''\;$ tal que $\; \angle P\hat{A'}O'' = \alpha,\;$ ou seja, o arco $\;\widehat{PA'O''},\;$ da circunferência $\;(A',P)\;$ correspondente a um ângulo ao centro de $\;\alpha\;$ radianos, terá comprimento $\overline{AO} \times \alpha = \overline{A'O'} \times \alpha =\overline{AA'}=\overline{OP}.\;$
As posições $\;O''\;$ descrevem uma curva a que chamamos ciclóide. Pode visualizar o comportamento das posições desse ponto, fazendo variar os valores em radianos de $\;\alpha \;$ no selector na direita alta da janela da construção e pode também ver essa curva apresentada como lugar geométrico, o terceiro do quadro de lugares geométricos na direita baixa
i) $\;B'\;$ de $\;(A,\;B) \;$ correspondentes a cada amplitude $\; \alpha\;$ são tais que $\; \overline{AB} \times \alpha \;$ que é o comprimento do arco $\; \widehat{BAB'}\;$ correspondente ao ângulo $\; \alpha \;$ ao centro $\;A\;$ da circunferência $\;(A, B)\;$
ii) e, da mesma forma como vimos para $\;\overline{O'O''}, \;$ podemos concluir que $\; \overline{B'B''}=\overline{AB}\times \alpha > \overline{OP}\;\;$. Esta última desigualdade é óbvia por termos tomado $\;B\;$ exterior a $\;(A,O)\;$
Para compreender o comportamento de $\;B', B''\;$ pode reinicar a janela e mover o cursor de variação dos valores em radianos de $\; \alpha\;$ e é natural que consideremos a trajetória de $\;B''\;$ como uma cicloide (pelo menos, óbvia relativamente a $\;(A, B)\;$)
$\fbox{3.}\;\;$ O ponto $\;C\;$ interior a $\;(A,\;O)\;$ e as posições $\;C'\;$ da circunferência $\;(A, \;C)\;$ imagens de $\;C\;$ obtidas por Rotação$\;(A,\;\alpha)\;$ e as posições $\;C"\;$ imagens de $\;C'\;$ por translação segundo as direcção e sentido de $\;\overrightarrow{OP}\;$ e comprimento $\;\overline{AC}\times \alpha < \overline{OP}\;$ porque o ponto $\;C\;$ do interior de $\;(A,O)\;$ roda sobre a circunferência $\;(A, \;C)\;$ de raio $\;\overline{AC}\;$ menor que $\; \overline{AO},\;$ raio de $\;(A,O).\;$
Esta curva (lugar geométrico das posições $\;C''\;$) é uma cicloide tão naturalmente como as outras.
NOTA: Os casos das posições $\;A'\;$ e $\;P\;$ ou mesmo $\;O''\;$ podem ser considerados casos particulares das duas últimas...
