Interseção de duas retas, usando só o compasso

Nesta entrada realizamos uma construção dinâmica adequada ao problema de

Dados os pontos $\;A, \;B, \;C,\;D\;$ determinar os pontos de intersecção das rectas $\;AB\; $ e $\;CD$ recorrendo unicamente ao compasso moderno

(ou seja com circunferências - cada uma determinada por centro dado ou pré-determinado e a passar por um ponto dado ou pré-determinado ou com um raio determinado por dois pontos pré-determinados)



$\fbox{2}\;:\;$ Determinamos o ponto $\;C':\;C'A=CA \wedge C'B=CB, \;$ ou seja, um ponto de $\; (A,\;C).(C,\;B) =\{C,\; C'\}.\;$ $\;AB\;$ é a mediatriz de $\;CC'\;$
De modo análogo de determina $\;D':\;D'A=DA \wedge D'B=DB\;$
$\fbox{3}\;:\;$ As circunferências $\;(C,\; \overline{DD'})\;$ e $\;(D', \;\overline{CD})\;$ intersectam-se em dois pontos sendo um deles colinear com os pontos $\;C,\;C'\;$
As circunferências $\;(C', \:G)\;$ e $\;(G, \;D')\;$ intersectam-se em dois pontos, sendo um deles $\;E\;$
$\fbox{4}\;:\;$ E as circunferências $\;(C', \;C)\;$ e $\;(G, \;\overline{CE})\;$intersectam-se em dois pontos, um dos quais é $\;F\;$ colinear com $\;E\;$ e $\;C'.\;$
$\fbox{5}\;:\;$Finalmente: as circunferências $\;(G, \;F)\;$ e $\;(C', \;\overline{CF})\;$ intersectam-se em dois pontos equidistantes de $\;C\;$ e $\;C'\;$, ou seja, da mediatriz de $\;[CC']\;$ que como já vimos é a recta $\;AB. \;$
Um desses pontos é $\;X\;$ colinear com $\;C\;$ e $\;D\;$ ou seja incidente em $\;[CD]\;$ e, em consequência, ponto de intersecção de $\;AB\;$ com $\;CD\;$

$\fbox{6}\;:\;$ Caso lhe interesse pode agora ver as rectas e as colinearidades escolhidas menos óbvias. $\;CC' \perp AB ,\; DD' \perp AB,\; CC' \parallel DD', \; CD' = C'D,\; [CD'DC']\;$ é um trapézio isósceles cujas diagonais $\;CD\;$ e $\;C'D'\;$ são iguais em comprimento e intersectam $\;AB\;$ no ponto em que se intersectam $\;DC\;$ com $\;C'D'\; \rightarrow X.$

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seguindo as indicações de
Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.