Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção(14)

Problema: Determinar uma tangente a uma dada circunferência cortada por uma reta dada a uma dada distância do ponto de tangência.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

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Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$, um segmento $\;d\;$, uma circunferência de centro $\;O\;$ e raio $\;r\;$
   
   Resolver este problema resume-se a determinar um ponto $\;P\;$ da reta $\;a\;$ de que se tire uma tangente $\;t\;$ a $\;(O, r)\;$ sendo $\;PT = d\;$, em que T é o seu ponto de tangência.
2. Um ponto $\;P\;$ de $\;a\;$ que satisfaz as condições requeridas é vértice de um triângulo $\;PTO\;$ retângulo em $\;T\;$ em que os catetos são $\;PT=d\;$ e $\;TO = r\;$ conhecidos e a hipotenusa é $\;OP\;$
   Para determinar $\;OP =h\;$ basta tomar o triângulo retângulo de catetos $\;r, \; d\;$.
   
   

   © geometrias, 27 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. E o ponto $\;P\;$, se existir fica determinado pela interseção de $\;a\;$ com a circunferência $\;(O, h)\;$, No caso da nossa figura ficam determinados dois pontos $\;P.\;Q\;$ : $\;PO = QO = h$, sendo $\;h^2=r^2+d^2\;$
   
4. Os pontos $\;T\;$ de tangência encontarm-se na interseção de $\;(O, r)\;$ com a circunferência de diâmetro $\;OP=h\;$ (caso particular do 5º ou do 9º lugar geométrico da lista). Na nossa figura, para o ponto $\;P\;$ há duas tangentes $\;t_1\;$ e $\;t_2\;$, para as quais $\;PT_1 = PT_2 = d\;$, como queríamos.
5. Outras soluções, no nosso caso, são as tangentes a $\;(O, \;r)\;$ tiradas por $\;Q\;$

Podemos variar os comprimentos $\;d\;$ $\;r\;$ e as posições relativas das circunferência e reta dados. Verificamos que a existência de soluções depende da relação entre o comprimento de $\;d\;$ e as posições relativas de $\;a\;$ e $ \;(O,r)\;$

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (13)

Problema: Determinar uma circunferência tangente a uma dada reta num ponto dado e a uma circunferência dada.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

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Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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1. Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e um seu ponto $\;P\;$, uma circunferência de centro $\;C\;$
   
   Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;O\;$ para centro da circunferência nas condições definidas.
2. Para ser tangente a $\;a\;$ no ponto $\;P\;$, o centro $O$ da circunferência requerida na perpendicular a $\;a\;$ tirada por $\;P\;$ - $\;\perp_P^a$.
   
   

   © geometrias, 21 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Por outro lado, para ser tangente à circunferência de centro $\;C\;$ o centro $\;O\;$ da circunferência requerida será tal que $\;OC\;$ é igual à soma dos raios (da circunferência requerida e da circunferência dada).
   Se tormarmos a reta $\;e\;$ do lugar geométrico dos pontos à distância de $\;a\;$ igual ao raio da circunferência dada (2º lugar geométrico da lista), $\;CEO\;$ é um triângulo isósceles. $\;E\;$ é $\;e.\perp_P^a$
   
4. $\; O_1\;$ é a interseção da perpendicular $\;PE\;$ com a mediatriz de $\;CE\;$ (3º lugar geométrico da lista - dos pontos equidistantes de $\;C\;$ e $\;E\;$)
   A circunferência de centro em $\;O_1\;$ a passar por $\;P\;$ satisfaz o requerido.
5. Do mesmo modo, considerando $\;f\;$ e $\;\{F\}\; = \;f.\perp_P^a$ $\;O_1, \;O_2\;$, a mediatriz de $\;FC\;$ interseta a $\;\perp_P^a$ num ponto $\;O_2\;$. Este é o centro da segunda circunferência a passar por $\;P\;$ que satisfaz as condições do problema.

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas da circunferência, ponto e reta dados.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (12)

Problema: Determinar uma circunferência com um dado raio, que passa por um ponto dado e é seccionada por uma reta segundo uma corda de comprimento dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção.

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Poderá seguir os passos desta construção elementar, deslocando o cursor $\;\fbox{n}\;$ na figura abaixo.

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1. Dados (a azul): dois segmentos, um de comprimento raio, outro de comprimento corda, uma reta $\;a\;$ e um ponto $\;P\;$ da circunferência
   
   Para resolver este problema, basta determinar um ponto $\;O\;$ para centro da circunferência nas condições definidas.
2. O centro $O$ da circunferência estará à distância raio de $\;P\;$, isto é, será um dos pontos de $\;(P, \; \mbox{raio})\;$ - 1º lugar geométrico da lista.
   
   

   © geometrias, 18 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Por outro lado, a circunferência de centro $\;O\;$ deve cortar $\;a\;$ num segmento de comprimento corda dado. Tirámos por $\;P\;$ uma perpendicular (auxiliar) a $\;a\;$ de pé $\;P_a\;$. Se tomamrmos este ponto como ponto médio do segmento $\;AB\;$ de comprimento corda podemos determinar um $\;P_0\;$ sobre a reta $\;PP_a\;$ para o qual $\;AP_0\;$ tem comprimento igual ao raio. Os centros $\;O_1, \;O_2\;$ sobre a paralela a $\;a\;$ tirada por $\;P_0\;$ (2º lugar geométrico da lista)
4. Portanto, $\;O_1, \;O_2\;$ estão na interseção dos dois lugares geométricos - paralela à distância $\;P_aP_0\;$ de $\;a\;$ no semiplano $\;a, \;P\;$.
5. As soluções são as circunferências $\;(O_1, \;\mbox{raio}\;)\;$ e $\;(O_2, \;\mbox{raio}\;)\;$.
6. A perpendicular a $\;a\;$ tirada por $\;O_1\;$ interseta $\;a\;$ no ponto médio da corda $\;CD\;$ de comprimento igual corda dada. Do mesmo modo, para $\;O_2\;$

Podemos variar os comprimentos e as posições relativas do ponto e reta dados.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (9)

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Problema: Por dois pontos de uma circunferência tirar duas cordas paralelas de que se conhece a soma dos seus comprimentos.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados (a azul): uma circunferência de centro $\;O\;$ e dois pontos $\;A\;B\;$ sobre ela; um segmento $\;s=AC+BD\;$.
2.
O problema pede que determinemos dois pontos $\;C, \;D\;$ da circunferência dada, tais que $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e $\;s=AC+BD\;$. $\;ABCD\;$ será um trapézio inscrito na circunferência de centro $\;O\;$ dada.

• Nas codições do problema, este trapézio é isósceles: $\;AC\; \parallel \;BD\;$ e, em consequência, $\;CD=AB\;$. Os pontos médios $\;M, \; N\;$ das cordas $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão à mesma distância de $\;O\;$. $\;MO = NO\;$. Isto é os pontos médios de $\;AB\;$ e $\;CD\;$ estão na circunferência $\;(O, OM)\;$ (1º lugar geométrico da lista)
• Como $\;MN\;$ é a mediana $\;\displaystyle \frac{AC+BD}{2}\;$ do trapézio $\;ABCD\;$ , $\;N\;$ estará sobre a circunferência centrada em $\;M\;$ e de raio $\; \displaystyle \frac{s}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista).

© geometrias, 14 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção das circunferências $\;(O, OM)\;$ e $\; \left(M, \displaystyle \frac{s}{2} \right)\;$ (caso existam), serão pontos médios de $\;CD\;$ de acordo com as condições do problema. Conhecido $\;N\;$, como interseção da perpendicular a $\;ON\;$ com a circunferência dada obtêm-se os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$
($\;CD\;$ é corda da circunferência dada de centro $\;O\;$ e $\;N\;$ é o ponto médio $\;CD\;$)
No caso da nossa figura, as circunferências intersetam-se em dois pontos $\; N, \;N'\;$ e há por isso dois trapézios que satisfazem o pretendido $\;ACBD\;$ e $\;AC'D'B\;$
Pode fazer variar o tamanho de $\;s\;$ e confirmará que pode haver uma só solução ou nenhuma, que há casos em que o trapézio se reduz a um triânguo ou mesmo só a $\;AB\;$ e em que os segmentos $\;AB\;$ e $\;CD\;$ se intersetam, ...

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (8)

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Problema:Construir um triângulo de que se conhecem um ângulo, o lado a ele oposto e a mediana relativa ao lado conhecido.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Dados: dois pontos $\;B\;C\;$,segmento $\;a=BC\;$,comprimento da mediana $\;m_{BC}$, ângulo de amplitude $\;\alpha\;$.
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos $\;A\;$ , 3º vértice do triângulo $\;ABC\;$ de que se conhecem $\;B,\;C\;$, sabendo que $\;\angle B\hat{A}C\;$ terá de ser igual a $\;\alpha\;$ e $\;AM_{BC}=m_{BC}\;$

1. O 5º lugar geométrico da lista diz-nos que os pontos, dos quais partem retas para os extremos $\;B,\;C\;$ de um segmento fazendo um ângulo $\;\alpha\;$, estão sobre dois arcos congruentes de duas circunferências com uma corda - $\;a=BC\;$ - comum.
2. O lugar geométrico dos pontos à distância $\; m_{BC}\;$ de $\;M_{BC}\;$, ponto médio de $\;BC\;$, estão na circunferência de centro $\;M_{BC};$ e raio $\; m_{BC}\;$ (1º lugar geométrico da lista)

© geometrias, 8 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção dos lugares geométricos (5º e 1º, para os dados do problema) são os pontos $\;A, \; \; A_1 ,\; A_2 ,\; A_3\;$.
Há, em consequência, quatro triângulos $\;ABC, \; \; A_1 BC ,\; A_2 BC,\; A_3 BC\;$, a vermelho na figura, que satisfazem as condições requeridas

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (6)

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Problema: Construir uma circunferência tangente a duas retas paralelas dadas e a passar por um ponto dado.

Na construção a seguir, apresentamos os passos da resolução do problema de construção..
1.
Temos inicialmente duas retas paralelas $\;a,\;b\;$ e um ponto $\;P\;$ dados .
2.
A resolução do problema resume-se a encontrar pontos $\;O\;$ a igual distância das retas paralelas e do ponto $\;P\;$.

1. O 2º lugar geométrico da lista diz-nos que os pontos equidistantes de uma reta $\;m\;$ estão sobre retas paralelas a ela. Assim, é óbvio que o lugar geométrico dos pontos $\;M\;$ equidistantes das retas $\;a, \; b\;$ à distãncia $\;d\;$ uma da outra, será a reta a elas paralela e a meia distância $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ entre $\;a\;$ e $\;b\;$. Os pontos $\;O\;$ procurados estão, por isso, sobre $\;m\;$.
2. O lugar geométrico dos pontos à dstância $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ de $\;P\;$ estão na circunferência de centro $\;P\;$ e raio $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ (1º lugar geométrico da lista)

© geometrias, 6 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
A interseção dos lugares geométricos (1º e 2º, para os dados do problema) são os pontos $\;O_1 \;\mbox{e} \; O_2 \;$ Há, em consequência, duas circunferências de raio $\; \displaystyle \frac{d}{2}\;$ e centros $\;O_1 \;\mbox{e}\; O_2 \;$ que são soluções do problema.

Instrumentos euclidianos

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As próximas entradas ilustrarão o uso dos instrumentos e métodos de construção euclidianos.

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No Livro I dos Elementos, Euclides dá as seguintes definições:

I.Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
II. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.
...
XV. Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todas as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguais entre si

e, mais adiante, apresenta-nos os seguintes postulados

I. Pede-se como cousa pessoal, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta
II.E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessário.
III. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um círculo

Estes postulados garantem todas as construções primitivas com as quais todas as construções dos Elementos de Euclides se podem compor. Constituem-se em regras do jogo das construções de Euclides, restringindo todas as construções às que podem ser feitas:com instrumentos "euclideanos": uma régua de arestas para traçar tanto quanto o desejemos uma reta determinada por dois pontos; um compasso que nos permite determinar uma circunferência de um dado centro e passando por um dado ponto.