Problema: Determinar os pontos para os quais as suas distâncias a duas retas dadas têm uma dada soma.
A construção a seguir ilustra a determinação desse lugar geométrico.
Clicando sobre o botão de animação em baixo à esquerda, pode acompanhar os efeitos da variação das distâncias às retas. Também pode alterar os dados: tanto a soma dada como as posições das retas
A construção a seguir ilustra a determinação desse lugar geométrico.
- Dados (a azul): duas reta \;a, \;b\; e um segmento que representa a soma das distâncias \;s=d_a+d_b\; em que \;d_a\; e \;d_b\; representam a distância a \;a\; e a \;b\; respetivamente.
- Usando o 2º lugar geométrico da lista,
- os pontos que estão à distância \;d_a+d_b\; de \;b\; consiste em duas retas paralelas (finas a azul) a \;b\; e os pontos de interseção destas retas com a reta \;a\; são os pontos \;A, \;A'\; relacionados por uma meia volta de centro \;O = a.b\;
\;A, \;A'\; são soluções do problema. - os pontos que estão à distância \;d_a+d_b\; de \;a\; consiste em duas retas paralelas (finas a azul) a \;a\; e os pontos de interseção destas retas com a reta \;b\; são os pontos \;B, \;B'\; relacionados por uma meia volta de centro \;O \;(a.b)\;
\;B, \;B'\; são soluções do problema.
- os pontos que estão à distância \;d_a+d_b\; de \;b\; consiste em duas retas paralelas (finas a azul) a \;b\; e os pontos de interseção destas retas com a reta \;a\; são os pontos \;A, \;A'\; relacionados por uma meia volta de centro \;O = a.b\;
- Tomamos dois segmentos \;d_a\; (violeta) e \;d_b\; (castanho) nas condições do problema.
E, usando o 2º lugar geométrico da lista,
- O lugar geométrico dos pontos que estão à distância \;d_a\; de \;a\; é constituído por duas retas \;a', \;a''\; (violeta) paralelas a \;a\;
- O lugar geométrico dos pontos que estão à distância \;d_b\; de \;b\; é constituído por duas retas \;b', \;b''\; (castanho) paralelas a \;b\;
- Os pontos de interseção de cada par destas retas estão simultaneamente à distância \;d_a\; de \;a\; e à distância \;d_b\; de \;b\; de soma dada, a saber: \;P (a'.b'), \;P' (a''.b''), \;Q (a''.b'), \;Q'(a'.b'')\;
-
\;d_a, \;d_b\; podem tomar os valores de \;0\; a \;s=d_a+d_b\; e
quando \;d_a=0\;, \;d_b =s (\;P=A, \;P'=A',\;Q=A, \;Q'=A');
quando \;d_a=s\;, \;d_b =0 (\;P=B', \;P'=B, \;Q=B, \;Q'=B'\;) -
Para cada par \;(d_a, d_b)\;, nas condições já descritas, os pontos \;P, \;Q, \;P', \;Q'\; são os vértices de ângulos de lados paralelos a \;a\; e a \;b\;. A variação dos valores de \;d_a\; e \;d_b= \;s-d_a\; corresponde tão só à passagem de ângulos para outros iguais (lados paralelos) em que a variação crescente de uma das distâncias num sentido da perpendicular a \;a\; (ou a \;b\;) é compensada pela variação decrescente igual no sentido da perpendicular a \;b\; (ou a \;a\;), como é óbvio, já que \; d_a+d_b=s \Leftrightarrow d_a +\delta + d_b -\delta=s \;
Ou seja, qualquer variação de \;d_a\; (e correspondente variação de \;d_b \;) equivale a passar de um ângulo para outro de igual amplitude e com a mesma bissetriz.
Os pontos \;P\; e \;Q \; do lugar geométrico estarão obrigatoriamente sobre as bissetrizes (perpendiculares) dos quatro ângulos formados pela reta \;a\; com a reta paralela a \;b\; à distância \;s\; de \;b\;, etc
- O lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a duas retas dadas têm uma soma dada é o retângulo \;ABA'B'\; cujas diagonais \;AA'\; e \;BB'\;$ são segmentos das retas dadas .
© geometrias, 12 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra
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