Há inversão entre duas circunferências quaisquer? (3)
3º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (uma interior da outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.
Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.
Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_1$.
Determinação de $I(O_1, r^2)$
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Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
- No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que não se intersetam e $(C_2)$ está no interior de $(C_1)$. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_1$ entre $C_1$ e $C_2$ da homotetia de razão negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2)$ para centro da inversão, para a qual $P$ é transformado em $Q'$. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
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Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_1P$, que não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_1$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_1$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. E sabemos também que, para o inverso de $A$ relativamente a $O_1$ ser $A'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a ela tiradas pelo ponto $A$ exterior.
Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $AO_1$ em $A'$ com a cirucnferência de diâmetro $AO_1$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_1$, que transforma o ponto $A$ genérico de $(C_1)$ no ponto $A'$ de $(C_2)$, tem raio $O_1T$.
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Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_2$.
Determinação de $I(O_2, r^2)$
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Na construção acima, tomamos a homotetia de razão positiva com centro $O_2$ que transforma $P$ em $Q'$.
$O_2$ estará na interseção de $PQ'$ com $C_1C_2$.
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Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_2$ que transforma $P$ no ponto $P'$ tal que $O_2P \times O_2P'= r^2$, tomamos uma circunferência auxiliar por reflexão de $(C_2)$ relativamente à perpendicular a $C_1C_2$ tirada por $O_2$. A reta $PQ'$ corta esta última circunferência em $P_1$ e $Q_1$ que se transformam em $P'$ e $Q'$ por meia volta de centro $O_2$. A circunferência de inversão terá por isso de passar pelos pontos de interseção de $(C_1)$ com esta circunferência transformada de $(C_2)$ por meia volta de centro $O_2$
Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada pelas inversões acima definidas na circunferência $(C_2)$.
© geometrias, 9 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra
Há inversão entre duas circunferências quaisquer?(2)
2º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (exteriores uma à outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.
Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.
Para seguir os passos de cada construção a seguir apresentadas, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$
Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eT^2)$
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Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
- No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ não se intersetam. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_e$ da homotetia de razão positiva que transforma $(C_1)$ e $(C_2)$ para centro da inversão. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
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Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_eP$, se não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_e$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_e$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. Para que o inverso de $P$ relativamente a $O_e$ ser $P'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a esta tiradas pelo ponto $P$ a ela exterior.
Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $PO_e$ em $P'$ com a circunferência de diâmetro $PO_e$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_e$ que transforma o ponto $P$ genérico de $(C_1)$ no ponto $P'$ de $(C_2)$ tem raio $O_eT$.
Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iR^2)$
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Na construção acima, tomamos a homotetia de razão negativa com centro $O_i$.
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Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_i$ que transforma $P$ num ponto $P'$ tal que $O_iP \times O_iP'= r^2$, estando $O_i$ entre $P$ e $P'$, tomamos uma circunferência de diâmetro $PP'$ e a perpendicular a $PP'$ tirado por $O_i$. Ficamos com o triângulo $PRP'$ retângulo em $R$, do qual $O_iR$ é a altura relativa a $R$ ou à hipotenusa $PP'$
$O_iR$ é a média geométrica de $PO_i$ e $O_iP$, ou seja, $O_iP\times O_iP'=r^2$ -
Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada, pela inversão acima determinada, na circunferência $(C_2)$.
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Claro que, por $I(O_i, r^2)$ podemos determinar diretamente outra circunferência inversa de $C_1)$ que é a imagem da circunferência $(C_2)$ dada relativamente a $O_i$, como se pode ver a dado passo da construção feita.
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Não usámos o método da tangente do caso anterior já que a circunferência de diâmetro $PO_i$ não corta a circunferência $C_2$ dada. Obviamente também não podíamos usar o método dos pontos de interseção das circunferências dadas, já que elas não se intersetam.
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Este procedimento é equivalente a:
- Determinar $O_i$ como centro da homotetia negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2$
- Determinar a circunferência $(K)$ como imagem pela reflexão relativa a $O_i$ de $(C_2)$
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Claro que $O_i$ é o centro da homotetia positiva entre $(C_1)$ e $(K)$ e calcular $r$ por algum dos métodos já utilizados: circunferência de centro $O_i$ e a passar pelos pontos de interseção das circunferências $(C_1)$ e $(K)$, ou pelo método das tangentes usado no caso em que recorremos à homotetia positiva que relaciona duas circunferências.
© geometrias,3 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra
1º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.
Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.
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Para quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ há sempre uma homotetia que transforma uma na outra, ou seja, duas circunferências quaisquer são homotéticas.
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Na entrada Conservação de ângulos por inversão (2) provámos que A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. resultado que já foi utilizado na resolução de muitos problemas. Estudamos agora o problema de construção mais simples que consiste em utilizar este resultado para determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas, sabendo que o seu centro será o centro de uma homotetia entre elas.
- No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências intersetam-se. E, por isso, a circunferência de inversão terá de passar pelos pontos de interseção das circunferências (inversos de si mesmos) e com centro no centro da homotetia.
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Apresentam-se duas construções que ilustram a determinação das circunferências de inversão com centros nos centros das duas homotetias que transformam $(C_1)$ em $(C_2)$, sendo estas circunferências concorrentes e de raios diferentes. Claro que se tivessem raios iguais, o centro da homotetia de razão positiva $O_e$ que não pertence ao segmento $C_1 C_2$ seria um ponto do infinito da reta dos centros.
Para seguir os passos de cada construção, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$
Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eK^2)$
Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iK^2)$
Temos três pontos $A, B, C$ colineares. Procuremos definir a inversão que transforma $A, B, C$ em $A', B', C'$ de tal modo que $A'B' = B'C'$
Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.
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Como os pontos $A, B, C$ são colineares (sobre uma reta $a$). os seus inversos $A', B', C'$ ou são colineares ou são concíclicos.
- Para que $A'B'$ e $B'C'$ sejam ambos segmentos de reta é necessário que $O$ seja colinear com $A, B, C$ ($O \in a$) e, em consequência, sobre $a$ também estarão $A', B', C'$, sendo $OA \times OA' = OB \times OB' = OC\times OC' =r^2$ se chamarmos $r$ ao raio da circunferência $(O)$ de inversão.
- Qualquer que seja $O$ de $a$, para $A$ e $B$ de $a$, $\overrightarrow{OA} =\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'}$ e
$$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OB'}$$
$$(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{OA'} =\overrightarrow{OB}.(\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'})$$
$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OB}. \overrightarrow{A'B'}$$
$$A'B' = \frac{AB\times OA'}{OB} = \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}$$
Do mesmo modo, se relaciona $B'C'$ com $BC$:
$$B'C' = \frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$
- Ser $A'B'= B'C'$ é o mesmo que
$$ \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}=\frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$
ou seja,
$$\frac{AB}{OA}= \frac{BC}{OC} \;\;\mbox{ou} \;\; \frac{OA}{OC}= \frac{AB}{BC}$$
Ora a igualdade $$\;\;\displaystyle \frac{OA}{OC}= -\frac{BA}{BC}\;\;\;$$ verifica-se para o ponto $O$ de $a$ que é conjugado harmónico de B, relativamente a $AC$: $$(O, B; A, C)=-1$$
Fica assim demonstrado que a inversão que procuramos é relativa a uma circunferência de centro $O$, bem determinado e único para o terno de pontos $A, B, C$, e raio $r$ qualquer.
Para seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$
© geometrias, 26 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra
Um triângulo qualquer pode ser invertido num triângulo retângulo?
Seja $ABC$ um triângulo qualquer. Qual é o lugar geométrico dos centros de uma inversão que transforme o triângulo $ABC$ num triângulo retângulo?
Na nossa construção, procurámos o lugar geométrico dos centros das inversões que transformam o triângulo $ABC$ num triângulo $A'B'C'$ retângulo em $A'$, isto é, tal que $B'C'$ é o diâmetro da circunferência circunscrita a $A'B'C'$.
Par seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$
© geometrias, 18 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra
Passos:
- São dados os três vértices e os três lados do triângulo $ABC$ .
- Considerando a construção que permite inverter um quadrilátero qualquer para um retângulo publicada na última entrada, o lugar geométrico dos centros de inversão que transformam um triângulo qualquer num triângulo retângulo será a circunferência $(O_a)$ (laranja) ortogonal à circunferência $(O)$ e a passar por $B$ e $C$.
- Um ponto $K$ qualquer de $(O_a)$ é o centro da circunferência de inversão (a vermelho) com raio $r$ qualquer.
- A inversa de $(O)$, por $I(K, r^2)$, é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OK$ e que interseta $\;KA, KB, X
KC\; $ em $\;A', B', C'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C$
- $A'B'C'\;$ é um triângulo retângulo em $A'$
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