11.10.13

Teorema de Feuerbach (nota sobre a circunferência de 9 pontos)

A circunferência de nove pontos (ou de Feuerbach) foi referida neste "lugar geométrico" muitas vezes. Antes da demonstração propriamente dita do chamado Teorema de Feuerbach (usando a inversão geométrica), estudamos a existência e unicidade (?) de tal circunferência para cada trângulo.

Circunferência de 9 pontos, Euler ou Feuerbach

Para um triângulo qualquer, de vértices Ai tomam-se os seguintes pontos: Mi,médios dos lados; Hi, pés das alturas; Ei, pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e cada vértice. Prova-se que estes 9 pontos estão sobre uma circunferência de raio igual a metade do circunraio e centro no ponto médio entre circuncentro e ortocentro.

A.Martins, 10 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Demonstração.:

    • Porque o triângulo A2H3S3 é retângulo em H3 e A2H1A1 é retângulo em H1, são iguais os ângulos A2A3S3 e A2A1S1 por serem complementares de A1A2A3. E, por estarem inscritos no mesmo arco A2S1, são iguais os ângulos A1A2S1 e A2A3S1 : A2A3S3=A2A1S1=A2A3S1
    • Assim, são congruentes os triângulos retângulos em H1 HH1A3 e S1H1A3 e, em consequência, H1 é o ponto médio de HS1
    • Do mesmo modo, se pode concluir que H2 é o ponto médio de HS2 e H3 é o ponto médio de HS3
    • ´
    • Consideremos agora o circundiâmetro A1T1: T1A3A2H porque são ambas perpendiculares a A1A3 e A3HT1A2 porque são ambas perpendiculares a A1A2.
    • Por isso, HA2T1A3 é um paralelogramo cujas diagonais HT1 e A2A3 se bissetam. E o ponto M1, médio de A2A3, é também o ponto médio de HT1
    • Do mesmo modo, se concluiria que M2, médio de A1A3, é também o ponto médio de HT2 e que M3, médio de A1A2, é também o ponto médio de HT1
    • A homotetia de centro H e razão 12 transforma a circunferência azul na circunferência vermelha, já que a cada um dos 3 pontos Si corresponde um dos pontos Hi (por 1.) e também a cada um dos pontos Ti corresponde um dos pontos Mi (por 2.)
    • Cada vértice Ai do triãngulo e da circunferência azul circunscrita, pela mesma homotetia, tem correspondente Ei incidente na circunferência vermelha e em HAi. Porque a razão da homotetia é 12, cada Ei é ponto médio de HAi
    • Para concluir: pela mesma homotetia, o centro O é transformado num ponto N (centro da homotética vermelha) incidente em HO e seu ponto médio.
Ficou assim provado que para um triângulo qualquer, há uma circunferência que passa pelos 3 pontos médios dos lados, pelos 3 pés das alturas, e pelos 3 pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e os respetivos vértices.
Esta circunferência é nomeada por circunferência dos 9 pontos (pelos anglófonos :-), de Euler (pelos francófonos :-) ou de Feuerbach (pelos germanófonos :-)

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