Circunferência de 9 pontos, Euler ou FeuerbachPara um triângulo qualquer, de vértices Ai tomam-se os seguintes pontos: Mi,médios dos lados; Hi, pés das alturas; Ei, pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e cada vértice. Prova-se que estes 9 pontos estão sobre uma circunferência de raio igual a metade do circunraio e centro no ponto médio entre circuncentro e ortocentro. A.Martins, 10 outubro 2013, Criado com GeoGebra |
Demonstração.:
-
- Porque o triângulo A2H3S3 é retângulo em H3 e A2H1A1 é retângulo em H1, são iguais os ângulos ∠A2A3S3 e ∠A2A1S1 por serem complementares de A1A2A3. E, por estarem inscritos no mesmo arco A2S1, são iguais os ângulos ∠A1A2S1 e ∠A2A3S1 :
∠A2A3S3=∠A2A1S1=∠A2A3S1
- Assim, são congruentes os triângulos retângulos em H1 HH1A3 e S1H1A3 e, em consequência, H1 é o ponto médio de HS1
- Do mesmo modo, se pode concluir que H2 é o ponto médio de HS2 e H3 é o ponto médio de HS3 ´
- Porque o triângulo A2H3S3 é retângulo em H3 e A2H1A1 é retângulo em H1, são iguais os ângulos ∠A2A3S3 e ∠A2A1S1 por serem complementares de A1A2A3. E, por estarem inscritos no mesmo arco A2S1, são iguais os ângulos ∠A1A2S1 e ∠A2A3S1 :
∠A2A3S3=∠A2A1S1=∠A2A3S1
-
- Consideremos agora o circundiâmetro A1T1: T1A3∥A2H porque são ambas perpendiculares a A1A3 e A3H∥T1A2 porque são ambas perpendiculares a A1A2.
- Por isso, HA2T1A3 é um paralelogramo cujas diagonais HT1 e A2A3 se bissetam. E o ponto M1, médio de A2A3, é também o ponto médio de HT1
- Do mesmo modo, se concluiria que M2, médio de A1A3, é também o ponto médio de HT2 e que M3, médio de A1A2, é também o ponto médio de HT1
-
- A homotetia de centro H e razão 12 transforma a circunferência azul na circunferência vermelha, já que a cada um dos 3 pontos Si corresponde um dos pontos Hi (por 1.) e também a cada um dos pontos Ti corresponde um dos pontos Mi (por 2.)
- Cada vértice Ai do triãngulo e da circunferência azul circunscrita, pela mesma homotetia, tem correspondente Ei incidente na circunferência vermelha e em HAi. Porque a razão da homotetia é 12, cada Ei é ponto médio de HAi
- Para concluir: pela mesma homotetia, o centro O é transformado num ponto N (centro da homotética vermelha) incidente em HO e seu ponto médio.
Esta circunferência é nomeada por circunferência dos 9 pontos (pelos anglófonos :-), de Euler (pelos francófonos :-) ou de Feuerbach (pelos germanófonos :-)
Sem comentários:
Enviar um comentário