GEOMETRIA : Determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.

9.10.13

Determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.

Levando em conta as duas últimas entradas, vamos determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências

$(O)$ e

$(P)$ tangentes em

$T$ . Tomamos o eixo radical (a negro) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a

$OP$ tirada por

$T$ que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto

$T$ . E sobre o eixo radical, tomamos um ponto

$M$ qualquer. E determinamos, como feito na entrada de 7 de Outubro as circunferências que passam por

$M$ e são tangentes às circunferências

$(O)$ e

$(P)$ dadas.
Como se vê na figura abaixo, essas duas circunferências, determinadas com recurso à inversão

$I(T, TM^2)$ , em comum têm dois pontos, para além de

$M$ ,

$M'$ , variando este quando

$M$ se desloca sobre o eixo radical.
Vamos determinar o lugar geométrico dos pontos

$M'$ quando

$M$ percorre o eixo radical.

As duas circunferências que passam por

$M$ e são tangentes às circunferências

$(O)$ e

$(P)$ : uma delas (verde) é tangente a

$(O)$ em

$A$ e tangente a

$P$ em

$A'$ ; a outra (azul topázio) é tangente a

$(O)$ em

$B$ e a

$(P)$ em

$B'$ . Referindo-nos aos resultados da entrada de 7 de Outubro p.p. sobre Inversão e Homotetia, sabemos que

$AA'$ e

$BB'$ passam pelo centro comum de homotetias várias definidas por pares de circunferências homotéticas tangentes duas a duas: uma (direta) que transforma

$(O)$ em

$(P)$ e outras, as que transformam

$(P)$ na circunferência verde (tangente), ou

$(O)$ na circunferência azul topázio (tangente)...
Como vimos então

$A$ e

$A'$ são tais que

$HA \times HA'= HT^2$ Pela mesma razão, sendo

$M'$ o segundo ponto de interseção de

$HM$ com a circunferência verde (ou com a azul topázio),

$M$ e

$M'$ são tais que

$HM \times HM' = HT^2$ Assim, uma circunferência que passe por

$M$ e

$M'$ e seja tangente a uma das

$(O)$ ou

$(P)$ é tangente à outra.

$M'$ é o segundo ponto de interseção das circunferências que passam por

$M$ e são tangentes a

$(O)$ e a

$(P)$ .
E de

$HM \times HM' = HT^2$ também se retira que, pela inversão

$I(H, HT^2)$ , aos pontos

$M$ do eixo radical correspondem os pontos

$M'$ , ou seja, os pontos

$M'$ encontram-se sobre a circunferência inversa do eixo radical das circunferências

$(O)$ e

$(P)$ , que tem como diâmetro

$TH$ .

$\hspace{1cm} \square$

Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

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