7.10.13

Determinar circunferências tangentes a duas outras tangentes entre si - um caso simples.



Nesta entrada, estudamos uma construção, com recurso à inversão, de circunferências tangentes a duas circunferências dadas que são tangentes entre si.
Nesta entrada, estudamos uma construção, com recurso à inversão, de circunferências tangentes a duas circunferências dadas que são tangentes entre si.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências (O) e (P) tangentes em T. Tomamos o eixo radical Δ (g) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a OP tirada por T que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto T. E sobre Δ, tomamos um ponto M qualquer. Vamos determinar as circunferências que passam por M e são tangentes às circunferências (O) e (P) dadas.



Se tomarmos uma inversão - I(T, TM2) - M é inverso de si mesmo por ser um ponto da circunferência de inversão e Δ é inversa de si mesma por passar pelo centro da inversão. Δ terá dois pontos que são auto-inversos, para além de M, o outro extremo do diâmetro da circunferência de inversão sobre Δ. E
  • por passar pelo centro de inversão T, a circunferência (O) tem por inversa uma reta que passa pelos pontos de interseção dela com a circunferência de inversão quando se intersetam
  • pelas mesmas razões, a circunferência (P) terá por inversa uma reta (para cada elemento e seu inverso, a mesma cor).
Como a inversão preserva a tangência, bastará determinar as circunferências que passam por M e são tangentes às retas inversas de (O) e (P). Os centros dessas circunferências serão equidistantes dessas retas e de M. Há obviamente duas circunferências (azul topázio e verde).
Por I(T, TM2) a estas circunferências correspondem duas circunferências passando por M e cada uma delas tangente às circunferências dadas, uma tangente exteriormente e outra tangente interiormente

Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

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