Lugares geométricos básicos - outra solução

O terceiro enunciado da lista de exercícios sobre lugares geométricos básicos é:
São dados uma circunferência c um segmento de reta AA’. Por cada ponto M da curva traça-se um segmento MM’ com o mesmo comprimento de AA’, paralelo e com o mesmo sentido. Qual é o lugar dos pontos M’?
Aqui fica resolvido.

Lugares geométricos parecidos

Na lista de exercícios sobre lugares geométricos básicos é apresentado o seguinte:

Qual é o lugar geométrico dos pontos G de intersecção das medianas de um triângulo cujo lado BC é fixo e cuja mediana AM_a tem um dado comprimento l?

que pode ser associado ao resultado apresentado antes, nas entradas intervalo para esclarecimentos sobre lugares geométricos e notas sobre lugares geométricos que tratavam, entre outros do lugar geométrico dos baricentros dos triângulos com um mesmo circuncírculo em que dois vértices são fixos e outro ocupa qualquer posição sobre o circuncírculo.

Tem algum interesse ver que conjecturas se fazem para o primeiro resultado e para este novo lugar geométrico.

Nesta entrada, tratamos da generalização.

Pode parar a animação e pode mudar o comprimento da mediana.

Circunferência, recta e mediatriz - soluções.

Quando publicámos o problema interativo que consistia em determinar dois pontos - um C sobre uma circunferência c e outro S sobre a reta s - de tal maneira que a reta r fosse a mediatriz do segmento CS, esperávamos que a solução fosse encontrada de uma única maneira usando as rectas. Assim:





Rapidamente chegámos à conclusão que havia solucionadores que partiam da circunferência. Determinavam em primeiro lugar o simétrico O' de O relativamente a r e com centro em O' a refletida c' da circunferência c. Para concluir que as interseções de s com c' e os seus simétricos em relação a r dão as soluções.




(seguindo o Acordo Ortográfico)

Lugares geométricos básicos

Perguntas simples para respostas simples:

1. Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por um ponto dado A e têm um raio dado r.
2. Qual é o lugar geométrico dos pontos G de intersecção das medianas de um triângulo cujo lado BC é fixo e cuja mediana AM_a tem um dado comprimento l?
3. São dados uma circunferência c um segmento de reta AA’. Por cada ponto M da curva traça-se um segmento MM’ com o mesmo comprimento de AA’, paralelo e com o mesmo sentido. Qual é o lugar dos pontos M’?
4. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos definidos por um ponto A e os pontos de uma circunferência c.
5. São dadas duas circunferências de centros O e O’ e raios r e r’. Traçamos dois raios r e r’ paralelos e com o mesmo sentido. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios M dos segmentos AA’ quando A e A’ se deslocam sobre as circunferências?
6. Qual é o lugar geométricos dos pontos médios das cordas de uma circunferência que têm um comprimento dado l?

Circunferência e recta; distância e direcção

Na construção dinâmica, considere a circunferência c e a recta s.
Determine os pontos M da circunferência c e N da recta s tais que a distância entre eles seja igual à dada (MN) e segundo a direcção de r.

A circunferência, a recta e a mediatriz

No 9º ano de escolaridade, são abordados os lugares geométricos. A recta e a circunferência são o ponto de partida para o que pode ser uma aventura de pensamento e descobertas, tão simples quanto difíceis. Os conceitos podem ser muito simples, mas os problemas podem ser resolvidos por abordagens que nem sempre aparecem de imediato. Por aqui não vamos descobrir coisa alguma, mas vamos propor problemas de construção elementares que alimentem o fascínio sobre lugares geométricos básicos.

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Na figura que se segue representam-se duas rectas r e s e uma circunferência.

Propomos a determinação, por construção, de pares de pontos (C, S) em que C esteja sobre a circunferência e S sobre a recta s sendo r a mediatriz do segmento CS.

O computador dirá quando o(s) tiver bem determinado(s).

Notas sobre lugares geométricos

A procura dos lugares geométricos (ver publicação de 24/09/2010) do ortocentro, baricentro e incentro de um triângulo inscrito numa circunferência dada, quando B e C permanecem fixos, e a sua justificação, levou-nos a outras perguntas:
Qual será o lugar geométrico dos pontos X₁, X₂ e X₃ resultantes das somas vectoriais OA+OB+OC=OX₁ , GA+GB+GC=GX₂ e IA+IB+IC=IX₃?




Foi interessante verificar que se X₁=H e X₂ =G e como tal os lugares geométricos são os já encontrados para o ortocentro e baricentro, nas condições referidas, já o lugar geométrico de X₃ é ... um lugar estranho - há alguém que queira dar uma ajuda - que curva é esta?

Nota sobre a mediana e a área do trapézio

A dedução de uma fórmula da área do trapézio é feita nas folhas de experimentação do ensino básico usando um triângulo equivalente ao trapézio. Também poderia ser feita a partir da soma de dois triângulos que compõem o trapézio como vimos. Mas outra forma será passando do trapézio para um rectângulo em que uma das dimensões é o segmento MN (segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos a que chamamos mediana e cujo comprimento é semi-soma dos comprimentos das bases do trapézio). A propriedade dos pontos médios dos lados não paralelos que também dividem a meio a altura do trapézio e da mediana do trapézio também merecem referência especial. Propomos uma construção dinâmica que ilustra bem a equivalência entre o trapézio ABCD e o rectângulo EFGH em que podemos apreciar a congruência e equivalência dos pares de triângulos (acrescentados/subtraídos) e relação das bases do trapézio com a mediana MN. Pode fazer variar a figura deslocando A, B C ou D ou o ponto auxiliar a azul (este para fazer variar a altura do trapézio). Os botões servem para ocultar ou mostrar cada uma das figuras (trapézio ABCD, rectângulo EFGH, triângulo a triângulo...)



Nenhuma destas abordagens pode ser considerada inibida ou excluída na leccionação e é razoável pensar que cada estudante pode decidir por qualquer delas para chegar à fórmula da área ou para calcular a área se não se lembrar da fórmula.

Nota sobre a área do trapézio

Nas folhas de trabalho do novo programa, para chegar a uma fórmula da área de um trapézio qualquer optou-se pela construção de um triângulo equivalente ao trapézio.
Como se pode ver na figura, tomando CE que passa pelo ponto M médio de AD, os triângulos AEM e CDM são congruentes (ALA) e logo equivalentes. E o triângulo BCE tem a mesma área do trapézio e a mesma altura (distância entre as bases paralelas) sendo a base BE deste triângulo a soma das bases do trapézio BE=BA+CD, já que CD=AE.



Convém, no entanto, ter presente que pode ser mais fácil para os estudantes compreender o resultado a partir da soma das áreas dos dois triângulos em que se decompõe o trapézio: ABC e CDA, em que o primeiro para a base AB (maior do trapézio) e o segundo para CD (base menor do trapézio) têm a mesma altura- distância entre as paralelas AB e CD.

Do pentágono ao decágono

Considere-se um pentágono inscrito [ABCDE] numa circunferência de que é dado o centro.
Determine os vértices e os lados de um decágono circunscrito do qual é apontado como alvo um vértice P.

Intervalo para esclarecimentos sobre lugares geométricos

Cassius Almada Ramos escreveu:
Meu nome é Cassius e sou estudante de matemática. Antes de mais nada, parabéns pelo BLOG
Poderia me tirar 1 duvida?
— Crie uma circunferência K e sobre ela, os pontos A, B e C. Considere B e C fixos.
Qual é o lugar geométrico do incentro do triângulo ABC quando o ponto A varia em K.
Quando o Ponto A anda sobre a circunferência, o incentro desenha a figura que está em vermelho. Que lugar geométrico é esse? (acompanhada de figura dinâmica em Cabri)
Tenho esses 2 problemas tb, que percebi que o rastro é de uma circunferência. Mas não consegui identificar qual o LG.
— Crie uma circunferência K e sobre ela, os pontos A, B e C. Considere B e C fixos. Qual é o lugar geométrico do ortocentro do triângulo ABC quando o ponto A varia em K.
— Crie uma circunferência K e sobre ela, os pontos A, B e C. Considere B e C fixos. Qual é o lugar geométrico do baricentro do triângulo ABC quando o ponto A varia em K.

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Estes problemas foram colocados no "Geometrias" em Agosto de 2009: entrada e ementa. A Mariana preparou construções e esclarecimentos sobre os lugares geométricos que ocupam o Cassius. Em Agosto de 2009, propunhamos a escolha de referenciais e o trabalho com equações sobre esses lugares geométricos. Aqui, Mariana Sacchetti trata tão só das suas construções (em GeoGebra) com elementos definidores dos lugares geométricos.




O lugar geométrico dos incentros dos triãngulos quando A se desloca sobre a circunferência em que B e se mantêm fixos é formado por arcos BC um para cada uma das duas circunferências com centros nos extremos do diâmetro ou intersecções da mediatriz de BC com o circuncirculo (que são também  pontos de intersecção da bissectriz de  com a mediatriz de BC)




Neste caso, trata-se de uma circunferência com centro no ponto da mediatriz de BC simétrico de O e que passa por B e C




E finalmente no caso do baricentro, trata-se de uma circunferência com centro no ponto da mediatriz de BC que dista de Ma (ponto médio de BC) 1/3 da sua distância a O. Esta circunferência passa pelos pontos que dividem BC em 3 partes iguais.

Hexágono circunscrito

Determinar os vértices B, C, D, E e  F e lados do hexágono regular de que se conhece um vértice A e a circunferência que circunscreve.

Polígono inscrito, polígono circunscrito

Num círculo dado, está inscrito um polígono. Determine o polígono circunscrito de lados paralelos ao inscrito (homotetia de razão positiva).

Trapézio inscrito

Determinar os vértices C e D e os lados AD, BC e CD do trapézio inscrito de que é dada a base AB e o comprimento da mediana.




O curioso é que assim como acontece para os trapézios circunscritos, qualquer trapézio inscrito é isósceles. Verifique que assim é.

Trapézio circunscrito (a partir de outros dados)

Determinar o trapézio ABCD, circunscrito à circunferência de centro O, de que se conhece o vértice A(zul)

Tapézio circunscrito (o mesmo problema, outro)

Outros dados, outro problema?
Trata-se de construir o trapézio ABCD, circunscrito à circunferência de centro O da figura, de que são dados os pontos de tangência E, do lado AB, e F do lado BC.

Trapézio circunscrito

O primeiro problema é da construção básica (9º ano) de um trapézio ABCD, circunscrito a uma circunferência, conhecidos que são os pontos de tangência de cada um dos seus lados E, F, G, H.
O segundo problema será demonstrar que tal trapézio ABCD é forçosamente isósceles.

Paralelogramo circunscrito

Com os resultados que temos vindo a utilizar, demonstre que um paralelogramo circunscrito numa circunferência é obrigatoriamente um losango.





Deixamos-lhe a construção dinâmica com ferramentas para que possa fazer as construções auxiliares que lhe permitam criar e acompanhar a demonstração.

Determinar um triângulo conhecidos Â, b e inraio

Determinar B, C, a, b e c de um triângulo sabendo que o raio da sua circunferência inscrita mede 2, BÂC=100º e AC=b=6. Outros dados: o vértice A e a recta AB.

Quanto vale DE?

Na sequência dos problemas levantados com as posições dos pontos de tangência das circunferências inscritas e ex-inscritas de um triângulo ABC em termos de a, b e c, sobrou-nos um problema que é o de determinar a distância entre os pontos D e E de tangência em BC das circunferências tangentes a três rectas AB, AC e BC dentro do ângulo  e, também manda o livro, que se prove que o ponto médio do segmento DE é o ponto médio do segmento BC.



Chamamos a a BC , b a AC e c a AB (confundindo na escrita segmentos com comprimentos). A a+b+c chamamos perímetro do triângulo e semiperímetro, designado muito frequentemente por p, a (a+b+c)/2.
Já sabemos de entradas anteriores que AS=p, TS=a, AT=p-a.
Como AS=AT+TB+BS, sendo TB=BD eBS=BE, p=p-a+BD+BE: BD+BE=a ou 2BD+DE=a.
Do mesmo modo, por ser AR=AU+UC+CR=p-a+CD+CE: CD+CE=a ou 2CE+DE=a.
Assim se prova que BD=CE e que o ponto médio de DE é o ponto médio de BC.
Claro que CU=CD=p-c ou BT=BD=p-b, e podemos assim escrever que DE=a+2b-2p=a+2c-2p ou DE=a+2b-a-b-c=b-c.
Não é interessante? Será util para futuras construções?

Triângulo ABC, dados Â,|BC| e perímetro

Determinar os vértices B e C e lados b e c do triângulo ABC, do qual se conhecem A e a recta AB e que é tal que BÂC=35º, |BC|=a=4 e a+b+c = 16.

Triângulo dados o perímetro e dois ângulos

A partir do ponto A e da recta AB, determine os restantes elementos do triângulo ABC de perímetro 14, cujos ângulos A e C medem respectivamente 40 e 30 graus.





Chamamos a atenção para o uso de ferramentas que habitualmente não usávamos: circunferência de centro e raio dados e ângulo de amplitude fixa a partir de dois pontos. Pensamos ter algum interesse falar do seu uso para o ensino básico.

Pontos de tangência do incírculo dividem os lados do triângulo...

Chamamos a ao comprimento do lado BC oposto a A, b=AC e c=AB. Na nossa construção, designámos por J, K e L pontos de tangência do incírculo.



O perímetro do triângulo é a+b+c = BJ+JC+CK+KA+AL+LB. Como BJ=BL, JC=CK, KA=AL, 2(AK+BL+CJ)=a+b+c, ou seja, 2AK+2a =a+b+c, AK+a é igual a metade do perímetro do triângulo. AK é o semiperímetro subtraído de a. Do mesmo modo, para AL. E obviamente que CK=CJ é igual ao semiperímetro do triângulo subtraído de c ou BL=BJ é igual ao semiperímetro do triângulo subtraído de b.

Alguns problemas podem ser resolvidos facilmente se tivermos presente este resultado.

Perímetro do triângulo e pontos de tangência de uma ex-inscrita

Dizemos que uma recta é tangente a uma circunferência quando só têm um ponto comum. Chamamos ponto de tangência ao único ponto comum. Por exemplo a recta AC é tangente ao círculo de centro em I_a, sendo E o ponto de tangência. Prova-se que a tangente em E é perpendicular ao raio EI_a (?). A distância de um ponto a uma recta é medida na perpendicular à recta tirada pelo ponto. A distância do centro de uma circunferência a qualquer uma das suas tangentes é, por isso, igual ao seu raio. Se tirarmos por um ponto A tangentes a uma circunferência, no caso da nossa construção, de centro em I_a, é certo que este ponto está a igual distância de ambas as tangentes, AB e AC, sendo um ponto da bissectriz do ângulo CÂB. E, assim, por ser I_aÂB = I_aÂC (?) e I_aÊA= I_aDA = 1 recto, os triângulos I_aAD e I_aAE são iguais já que I_aA é lado comum. Podemos concluir que a AD=AE.
Se tirarmos por A tangentes a uma circunferência, a distância de A aos pontos de tangência é a mesma.




Este resultado é muito importante e é aplicado na resolução de muitos problemas. Fornece-nos as condições a que obedecem polígonos circunscritíveis a uma circunferência (ou que admitem uma circunferência inscrita) tangente a cada um dos seus lados.
Sabemos que um triángulo admite sempre uma circunferência inscrita nele que é o mesmo que dizer que há um ponto à mesma distância do seus três lados; mais geralmente, equidistante de três rectas concorrentes. A nossa construção sugere que há vários pontos à mesma distância de 3 rectas (só um - o incerto - equidistante dos 3 lados de um triângulo).Quantos? A estes pontos equidistantes das rectas que contêm os lados de um triângulos chamamos incentro - quando é intersecção das três bissectrizes internas, ou exincentros quando são pontos de intersecção de duas bissectrizes externas e uma bissectriz interna ficando fora do triângulo. I_a é um dos exincentros do triângulo ABC, este sobre a bissectriz do ângulo Â.

E o exercício que propomos hoje é demonstrar que AD é igual a metade do perímetro do triângulo ABC. Pode ser?

Triângulos e quadriláteros, mesmo quando não parece

Um mesmo resultado permite resolver muitos problemas aparentemente muito diferentes. O resultado que serve para determinar um triângulo a partir de 2 lados e da mediana, apresentado recentemente, serve também para determinar dois pontos cada um em cada uma de duas rectas concorrentes dadas e de tal modo que um ponto A, dado seja deles equidistante e colinear.

Triângulo a partir de um vértice A, |AB|,|AC| e |AHa

Um problema de construção de enunciado em tudo semelhante ao do último exercício interactivo proposto usando comprimentos de lados e da mediana.
Aqui trata-se de determinar a partir de A e da recta AB, os pontos B e C e os lados AB, AC e BC do triângulo de que se conhecem os comprimentos dos lados c=AB=5 e b=AC=4 e da altura h_a =AH_a=3.






Este exercício pode ser dado durante o 9º ano, pedindo a justificação para a construção de tangentes que aprendam em educação visual ou após o ensino das circunferências, cordas, tangentes, etc. Está de certo modo relacionado com a demonstração pedida para o facto da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo rectângulo o dividir em dois isósceles equivalentes.

Uma mediana no triângulo rectângulo

Tome-se um triângulo rectângulo em A e a mediana de A para o ponto médio de BC. A mediana divide o triângulo rectângulo (como qualquer outra em qualquer triângulo) em dois triângulos equivalentes (Porquê?). Mas neste caso, a mediana divide em dois triângulos isósceles. O exercício para os 7º e 8º anos de escolaridade é demonstrar isso mesmo. Com o que se aprende no 9º ano, já passa a ser outra coisa.

Demonstração simples

A partir do triângulo equilátero ABC, construímos o triângulos A'B'C' para fora (e o triângulo A''B''C'' para dentro) nas condições da figura em que AA'=BB'=CC'.
Pedimos que se demonstre que A'B'C' é equilátero.




É uma demonstração simples e boa para os alunos do ensino básico aprenderem a separar hipótese de tese e a escrever os passos sucessivos da demonstração que não precisa de mais do que critérios de congruência de triângulos (estudados no 7º ano)

Determinar um triângulo conhecidos A e comprimentos b, c, ma

Voltamos, durante algum tempo, a exercícios básicos (pelo menos na aparência) e que podem ser apresentados a alunos do ensino básico.

O primeiro exercício que apresentamos é interactivo e pede que determinemos, a partir de A e da recta r=AB, os restantes elementos de um triângulo ABC de que sabemos os comprimentos dos lados c=AB=5, b=AC=4 e da mediana m_a=AM=3.




O Arsélio não promete dar a solução antes de Setembro. Talvez possa dar sugestões. Ou responder a dúvidas que lhe ponham.

Determinar os focos de uma elipse definida por 5 dos seus pontos

Uma elipse está definida por cinco pontos: A, B, C, D, E. Determinar os focos F₁ e F₂



António Aurélio promete a resolução para Setembro.

Cónica de Evans

Dado um triângulo ABC, determinemos:
- os pontos de napoleão Np₁ e Np₂
- os pontos de Fermat Fm₁ e Fm₂
- os pontos isodinâmicos W₁ e W₂

Num triângulo nem sempre existem todos os pontos FF, Np, WW; mas quando existem, estão os seis sobre a mesma cónica - cónica de Evans.

http://geometrias.blogspot.com/2008/09/pontos-isog-pontos-isodin.html (9/9/08)

http://geometrias.blogspot.com/2008/09/pontos-isodin-e-de-napole.html (26/9/08)

http://geometrias.blogspot.com/2008/07/napole-e-fermat.html (02/07/2008)

http://geometrias.blogspot.com/2009/01/pontos-de-fermat-pontos-isodinamicos-e.html(29/01/2009)


Colocamos dois casos, um em que a cónica de Evans é hipérbole e outro em que é elipse, por ser difícil aparecer a elipse quando deslocamos um dos vértices do triângulo. Nem sempre são visíveis no rectângulo de visualização todos os 6 pontos.






Cinco destes pontos seis pontos definem sempre uma cónica. Evans demonstrou que esta cónica contém o sexto ponto.

Hipérboles hipercores

Sugestão de beleza da entrada anterior. Só pela beleza mesmo.

Hipérbole de Kiepert

Tome-se um triângulo ABC, o seu circuncentro O e o seu ortocentro H.Estes cinco pontos definem uma cónica, no caso, a hipérbole de Kiepert, segundo Paul Yiu.




Para que triângulos é que estes cinco pontos definem duas rectas?

Circunferências e Tangentes

Dadas duas circunferências quaisquer de centros A e B. A recta AB intersecta as circunferência em quatro pontos. Tomemos os dois A' e B', mais distanciados. Tirem-se por A' tangentes à circunferência de centro B e por B' tangentes à circunferência de centro A.
As circunferências inscritas nos triângulos curvilíneos são congruentes.





(Paul Yiu, claro!)

A partir de um triângulo, outros. E outras qualidades.

Nestes tempos, dedicamo-nos a olhar para o texto Introdução à Geometria do Triângulo, de Paul Yiu e, sempre que possível mostrar construções dinâmicas que ilustrem resultados que nos pedem divulgação. Um enunciado simples:

Tome-se um triângulo ABC e um ponto P qualquer. Depois tirem-se por P perpendiculares a PA,PB e PC. Estas perpendiculares intersectam as rectas BC, AC e AB em A', B' e C', respectivamente.

1. A', B' e C' são colineares
2. E são colineares os centros das circunferências de nove pontos dos triângulos rectângulos PAA', PBB' e PCC'
3. Essas circunferências têm obviamente um ponto comum - P que é o pé de alturas de todos os triângulos rectângulos. Menos esperado é haver um outro ponto P* comum às três circunferências.

É sempre um espanto. Coisa pouca, uma nota de uma viagem de estudo ao mundo dos triângulos.

Circuncentro sobre circunferência inscrita e baricentro

A Mariana voltou aos triângulos cujo circuncentro está sobre a circunferência inscrita. Como se podia ver na penúltima entrada, o lugar geométrico dos ortocentros desses triângulos é uma circunferência de centro sobre OI, tangente à circunscrita e de raio R-2r.
A animação seguinte sugere que o lugar geométrico dos baricentros desses triângulos é uma circunferência de que não sabemos o centro (parece que sobre OI também) nem o raio.



Quem sabe?

Circunferência dos 9 pontos como lugar geométrico

Do trabalho de Paul Yu, citado na entrada anterior, retivemos ainda uma outra pergunta:

Quando um ponto P percorre a circunferência circunscrita de um triângulo ABC de ortocentro H, onde está o ponto médio de PH?



A resposta é: quando P percorre a circunferência circunscrita, M percorre a circunferência de 9 pontos (dito, de outro modo, a circunferência de 9 pontos é o lugar geométrico dos pontos médios de PH).
Porquê?

Triângulos com circuncentro na circunferência inscrita?

Uma das perguntas de Paul Yu, em "Introduction to the Geometryof the Triangle" (Florida Atlantic University: 2001) que fizémos a nós mesmos (AAF, AM & MIS), numa destas quintas geométricas era qualquer coisa como: Quais são os triângulos que têm o circuncentro na circunferência inscrita?. Na altura, respondemos com os cálculos mais óbvios, uma construção (em geogebra) e os espantos do costume. E deixámos para mais tarde essa e mais duas outras respostas (as construções já foram feitas ou meio desfeitas-AF (ou meias-desfeitas?:-))
Hoje, passados uns dias, recebemos de manhã o estudo de MS (construções em CaRmetal*.zir) que não resistimos a publicar como prenda de domingo. Muito cuidadosamente, ela escreve muito mais que uma resposta à pergunta. Assim:

1. Porisma - difícil de definir- mas que contem de certa forma o conceito de corolário
2. Porisma - de uma maneira simples mas perceptível - é uma situação que ou não tem soluções ou tem uma infinidade de soluções
3. Porisma de Poncelet - Sejam dois círculos C₁ e C₂, C₂ interior a C₁. Por um ponto P de C₁ tire-se uma tangente a C₂ que intersecta C₁ noutro ponto a partir do qual se tira nova tangente a C₁ e assim sucessivamente. Forma-se assim uma linha poligonal.
   
   Se essa linha poligonal fechar, fechará (com a mesma dimensão) qualquer que seja o ponto P de partida de C₁. Se não fechar, não fechará para nenhum ponto de C₁
4. Polígonos que se formam nestas condições chamam -se polígonos bicentricos(têm incentro e circuncentro)
5. Todo o triângulo é bicentrico
6. Voltemos ao porisma de Poncelet para o caso em que a linha poligonal fecha e tem dimensão 3 - triângulos. Existe assim uma infinidade de triângulos com o mesmo circuncentro e incentro e que se chamam triângulos poristicos - Entrada no blogue em 7.05.09 (ex. interactivo)
7. Que condições se têm que verificar para haver uma infinidade de soluções - a relação de Euler - OI²= R(R-2r) ou OI é a média geométrica entre R e R-2r
8. Caso o circuncentro (O) esteja sobre o incírculo:
   
   1. R=r(1+√t2)
   2. O lugar geométrico dos ortocentros (H) dos triângulos poristas (nesta condição) é uma circumferência com centro sobre OI , tangente ao circuncírculo e de raio R-2r

A borboleta

Tomem-se A,B,C e D sobre uma circunferência de centro O e de tal modo que AC intersecte BD num ponto P. A perpendicular a OP tirada por P intersecta BC e AD em M e N, respectivamente.
Porque é que |MP|=|NP|?




Nota: Claro que pode deslocar A, B, C e D sobre cada circunferência e pode deslocar O fazendo variar a circunferência.

Exercício interactivo: a diferença de rectângulos

Determinar o rectângulo [ABCD] de área igual à diferença das áreas dos dois rectângulos coloridos na figura, a ele semelhantes, conhecendo A e a recta r que contém [AB].





Nota: Após resolver o exercício, pode calcular as áreas dos rectângulos para as comparar, verificando o resultado.

Exercício interactivo: quadrado-soma

Determinar o quadrado [ABCD] do qual A é dado sobre a recta r que contém o lado [AB] e que tem área igual à soma das áreas de dois quadrados coloridos da figura.

Teorema de Pitágoras - mais uma demonstração

Já abordámos demonstrações do Teorema de Pitágoras, usando arranjos diferentes de ocupação da mesma figura, calculando e comparando áreas.
Há muitas demonstrações. Algumas das que aqui vimos foram também abordadas como possíveis propostas para a leccionação dos 8º e 9º anos de escolaridade. Há ainda uma outra que foi apresentada em aulas onde se utilizaram alguns materiais de apoio que a escola adquiriu. Esta é análoga à que parte do quadrado de lado igual à soma dos catetos do triângulo rectângulo, coberto:
- ou por quatro triângulos rectângulos iguais e um quadrado sobre a hipotenusa;
- ou quatro triãngulos iguais e dois quadrados, um sobre um cateto e outro sobre o outro cateto.
A construção dinâmica que se segue parte do triângulo ABC, rectângulo em C, catetos BC=a e AC=b, hipotenusa AB=c. Constrói-se o quadrado de lado c, que fica preenchido por quatro triângulos rectângulos iguais e um quadrado de lado (a-b). Para esta figura que aparece inicialmente, é óbvio que o quadrado de lado c é coberto por 4 triângulos de área ab/2 e um quadrado de lado (a-b): c²=4(ab/2)+(a-b)²= 2ab+a²+b²-2ab=a²+b².
Este resultado pode ser confirmado por uma cobertura de figura equivalente formada por dois quadrados - um de lado a e outro de lado b. Para ver o que se passa, basta ir clicando sobre cada um dos botões por ordem: 1, 2, 3 e 4.

Um exercício interactivo

Nesta altura, vale a pena enunciar um possível exercício de aplicação directa dos resultados de Pappus: Dados dois paralelogramos sobre os lados de um triângulo, determinar o paralelogramo que tem área igual à soma das áreas dos anteriores.

Ligando as pontas em volta do Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras e triângulos semelhantes sobre os lados do triângulo

Tal como aconteceu na entrada anterior, se em vez de retângulos semelhantes sobre os lados do triângulo retângulo, construirmos triângulos verifica-se que o triângulo construído sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos.

Pode deslocar-se os ponto A, B, C e R, os primeiros para olhar para triângulos retângulos diferentes e R para variar os triângulos semelhantes sobre os lados de um dado triângulo ABC.



(escrita conforme acordo ortográfico)

Teorema de Pitágoras e retângulos semelhantes sobre os lados do triângulo

Sobre os lados do triângulo [ABC], retângulo em A,construímos três retângulos semelhantes. Verifica-se que o retângulo desenhado sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos retângulos desenhados sobre os catetos. Este resultado é verificado para todos as figuras semelhantes construídas sobre os lados do triângulo retângulo.
Clicando sobre o botão Pappus? verifica-se a condição suficiente de Pappus (da entrada anterior).
Os pontos a verde A,B,C e D podem deslocar-se, fazendo variar o triângulo ABC e variar os retângulos para cada triângulo.

Generalização do Teorema de Pitágoras com demonstração à vista desarmada

No seu livro"Mirar y Ver. Nivola. Tres Cantos:2004" Guzmán dá grande importância à capacidade de olhar de modos diferentes e de perspectivas diferentes para as figuras, decompostas de modos diferentes e comparando áreas. Não se trata de um processo para conjecturar, mas mais do que isso: saber olhar, pode ser saber demonstrar. A escrita pode reduzir-se à descrição do que se viu, ou seja, a demonstração esteve na construção e no olhar, na construção do olhar.

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Um dos resultados, apresentado como exemplo, é muito potente. É uma generalização do Teorema de Pitágoras (atribuída a Pappus) de que pouco se fala. Trabalha com figuras decompostas em figuras equivalentes de vários modos que é o que fazemos com o Teorema de Pitágoras. Só que este resultado se aplica a qualquer triângulo e o T. de Pitágoras aparece como um caso particular para os triângulos rectângulos.

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Considere-se um triângulo ABC, qualquer. Sobre dois dos seus lados, construam-se dois paralelogramos - [AA₁B₁B], q na figura - e [AA₂C₂C], r. Os pontos a verde A,B, C, B₁ e C₂ são livres. Pode movê-los livremente.
O interessante é que, para cada par (q, r) de paralelogramos sobre os lados de um dos lados AC e AB de um triângulo qualquer, há um terceiro paralelogramo sobre BC que tem área igual à soma das áreas de q e r.
Que paralelogramo é esse?
Basta clicar no botão Construir? para acompanhar a construção de um tal terceiro paralelogramo.





Se clicou em Construir?, pode ver as dependências e mesmo adivinhar o que é preciso fazer e por que ordem para determinar o paralelogramo [CC₃B₃B] que tem área igual a q+r.

Preciso é determinar o ponto P, intersecção das rectas A₁B₁ e A₂C₂. E o paralelogramo [CC₃B₃B] é tal que A₁B₃= PA, sendo A₁B₃ e PA paralelos.

Clicar sobre o botão Demonstrar? confirmará, vendo, que o paralelogramo [BSPA] é obviamente equivalente a [BB₃RQ] já que BB₃=RQ=BS=PA e a altura relativa a RQ e PA é a distância entre duas mesmas paralelas. E é claro que q é equivalente a [BSPA].
Do mesmo modo, r é equivalente a [ACTP] e a [QRC₃C].

Outra demonstração do Teorema de Pitágoras,...

...usando decomposições diferentes de uma mesma figura.
Passo a passo, pela ordem, clicando nos quadradinhos:


(vista em "Guzmán. Mirar y Ver. Nivola. Tres Cantos:2004")

Outra demonstração do Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras - outra demonstração

A anterior entrada- demonstração do teorema de Pitágoras - sugeria uma demonstração usando transformações de figuras em figuras equivalentes.
Na construção que se segue, pretendemos provar que a área do quadrado [ABHG], c², é igual à soma das áreas dos quadrados [BCML], a², e [AJIC], b². Para isso, decompomos o quadrado em dois rectângulos, cada um deles equivalente a cada um dos quadrados.