Quanto vale DE?

Na sequência dos problemas levantados com as posições dos pontos de tangência das circunferências inscritas e ex-inscritas de um triângulo ABC em termos de a, b e c, sobrou-nos um problema que é o de determinar a distância entre os pontos D e E de tangência em BC das circunferências tangentes a três rectas AB, AC e BC dentro do ângulo  e, também manda o livro, que se prove que o ponto médio do segmento DE é o ponto médio do segmento BC.



Chamamos a a BC , b a AC e c a AB (confundindo na escrita segmentos com comprimentos). A a+b+c chamamos perímetro do triângulo e semiperímetro, designado muito frequentemente por p, a (a+b+c)/2.
Já sabemos de entradas anteriores que AS=p, TS=a, AT=p-a.
Como AS=AT+TB+BS, sendo TB=BD eBS=BE, p=p-a+BD+BE: BD+BE=a ou 2BD+DE=a.
Do mesmo modo, por ser AR=AU+UC+CR=p-a+CD+CE: CD+CE=a ou 2CE+DE=a.
Assim se prova que BD=CE e que o ponto médio de DE é o ponto médio de BC.
Claro que CU=CD=p-c ou BT=BD=p-b, e podemos assim escrever que DE=a+2b-2p=a+2c-2p ou DE=a+2b-a-b-c=b-c.
Não é interessante? Será util para futuras construções?