Generalização do Teorema de Pitágoras com demonstração à vista desarmada

No seu livro"Mirar y Ver. Nivola. Tres Cantos:2004" Guzmán dá grande importância à capacidade de olhar de modos diferentes e de perspectivas diferentes para as figuras, decompostas de modos diferentes e comparando áreas. Não se trata de um processo para conjecturar, mas mais do que isso: saber olhar, pode ser saber demonstrar. A escrita pode reduzir-se à descrição do que se viu, ou seja, a demonstração esteve na construção e no olhar, na construção do olhar.

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Um dos resultados, apresentado como exemplo, é muito potente. É uma generalização do Teorema de Pitágoras (atribuída a Pappus) de que pouco se fala. Trabalha com figuras decompostas em figuras equivalentes de vários modos que é o que fazemos com o Teorema de Pitágoras. Só que este resultado se aplica a qualquer triângulo e o T. de Pitágoras aparece como um caso particular para os triângulos rectângulos.

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Considere-se um triângulo ABC, qualquer. Sobre dois dos seus lados, construam-se dois paralelogramos - [AA₁B₁B], q na figura - e [AA₂C₂C], r. Os pontos a verde A,B, C, B₁ e C₂ são livres. Pode movê-los livremente.
O interessante é que, para cada par (q, r) de paralelogramos sobre os lados de um dos lados AC e AB de um triângulo qualquer, há um terceiro paralelogramo sobre BC que tem área igual à soma das áreas de q e r.
Que paralelogramo é esse?
Basta clicar no botão Construir? para acompanhar a construção de um tal terceiro paralelogramo.





Se clicou em Construir?, pode ver as dependências e mesmo adivinhar o que é preciso fazer e por que ordem para determinar o paralelogramo [CC₃B₃B] que tem área igual a q+r.

Preciso é determinar o ponto P, intersecção das rectas A₁B₁ e A₂C₂. E o paralelogramo [CC₃B₃B] é tal que A₁B₃= PA, sendo A₁B₃ e PA paralelos.

Clicar sobre o botão Demonstrar? confirmará, vendo, que o paralelogramo [BSPA] é obviamente equivalente a [BB₃RQ] já que BB₃=RQ=BS=PA e a altura relativa a RQ e PA é a distância entre duas mesmas paralelas. E é claro que q é equivalente a [BSPA].
Do mesmo modo, r é equivalente a [ACTP] e a [QRC₃C].