9.9.08

PONTOS ISOGÓNICOS. PONTOS ISODINÂMICOS.

Vimos em artigos anteriores que:
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], externamente, três triângulos equiláteros [BCL], [CAM], [ABN], as rectas AL, BM, CN são concorrentes num ponto V (“primeiro ponto de Fermat” ou “ponto de Torricelli” ou "ponto de Viviani") e os segmentos AL, BM, CN são iguais;
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], internamente, três triângulos equiláteros [BCL’], [CAM’], [ABN’], as rectas AL’, BM’, CN’ são concorrentes num ponto V’ (“segundo ponto de Fermat”) e os segmentos AL’, BM’, CN’ são iguais.




Os pontos V e V’ dizem-se “pontos isogónicos” ou “pontos gémeos” ou “pontos de Fermat”.
Se determinarmos os pontos isogonais dos pontos isogónicos obtemos os “pontos isodinâmicos”, W e W’.
As distâncias de W e W’ aos vértices do triângulo são inversamente proporcionais aos lados do triângulo.
Os pontos W e W’ pertencem à recta OK e separam harmonicamente O e K.




Os três círculos de Apolónio relativos ao triângulo passam pelos pontos isodinâmicos.
Este pode ser, portanto, um processo mais expedito para obter W e W’. Recordamos a construção dos círculos de Apolónio: designando, como temos feito, os pés da bissectrizes internas por Ta, Tb, Tc e os pés das bissectrizes externas por Sa, Sb, Sc, os diâmetros dos círculos de Aplónio são TaSa, TbSb, TcSc.



Consideremos apenas os pontos V e W. Seja Va a projecção de V a partir de A sobre BC, Vb a projecção de V a partir de B sobre AC e Vc a projecção de V a partir de C sobre AB. Os pontos V e W são os focos de uma elipse que passa por Va, Vb, Vc.
O mesmo se passa com os pontos V’ e W’.

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