Definição projetiva de cónicas

O nosso estudo (dos últimos meses) e as nossas construções em geometria projetiva plana quase exclusivamente consideraram pontos e certos subconjuntos de pontos (retas) do plano. As figuras do plano em que trabalhámos foram sempre definidas e constituídas por pontos e retas - triângulos (três pontos e três retas), quadrângulos (quatro pontos e seis retas ou quatro retas e seis pontos), etc - e as relações de incidência (por dois pontos passa uma reta, duas retas intersetam-se num ponto, ligar ou juntar, encontrar-se,etc). E definimos as transformações projetivas (a começar pelas perspetividade e projetividade do plano em que as imagens de pontos são pontos e de retas são retas, etc e pelas quais as relações de incidência entre pontos e retas são preservadas).

• Perspetividades
  
  1. Sejam duas retas a e b relacionadas por uma perspetividade, para a qual A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... em que os pontos A_i incidem em a e B_i incidem em b. O lugar geométrico dos pontos de interseção das retas A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... reduz-se a um ponto A que é chamado o centro dessa perpetividade. Por isso, se fala de uma perspetividade relativamente a um ponto (ou centro). Como já vimos antes as razões cruzadas (A₁, A₂; A₃, A₄) e (B₁, B₂; B₃, B₄) são iguais. E por via desta invariância dizemos que essa é a razão cruzada (A₁B₁, A₂B₂; A₃B₃, A₄B₄) do feixe das retas de centro A.
  2. De modo análogo, dualmente:
     Sejam dois pontos A e B e os feixes de retas a₁, a₂, ..., a_i, ... passando por A e b₁, b₂, ..., b_i, ...por B, relacionados por uma perspetividade para a qual a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas a₁.b₁, a₂.b₂, ..., a_i.b_i, ... é uma reta a. Por isso se fala de perspetividade de dois feixes relativamente a uma reta. Como já vimos antes, são iguais as razões cruzadas (a₁, a₂; a₃, a₄), (b₁, b₂; b₃, b₄) e (a₁.b₁, a₂.b₂; a₃.b₃, a₄.b₄).
• Projetividades
  Na construção que se segue, pode ver-se a ilustração equivalente para projetividades (não perspetivas)
  Na construção dinâmica acima, há dois feixes, um centrado em A e outro em B; do primeiro tomamos uma secção pela reta a e do segundo uma secção pela reta b, nas seguintes condições:
  a₁→A₁, a₂→A₂, ..., a_i→A_i, ...
  A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... é uma projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
  B₁→b₁, B₂→b₂, ..., B_i→b_i, ...
  garantindo assim que a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... é uma projetividade entre os dois feixes
  As razões cruzadas entre quaternos de retas dos feixes é o mesmo número que tomam as iguais razões entre os quaternos de pontos de qualquer das secções por a e b dos feixes centrados em A e B.
  1. Da projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
     A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ...
     resulta que A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... não constituem um feixe, mas cada uma delas tem um só ponto de contacto com uma cónica, a vermelho na construção (?).
     Se quisermos, o conjunto desses pontos de contacto forma uma pontual de 2ª ordem (noção até agora não considerada) e que se distingue das pontuais de 1ª ordem sobre retas. Uma cónica aparece como envolvente das retas entre pontos (de pontuais de 1ª ordem) relacionadas por uma projetividade (não perspetividade). Há autores que consideram as cónicas como feixes de 2ª ordem.
  2. Da projetividade entre os feixes centrados em A e em B
     a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ...
     resulta que os pontos de interseção das retas correspondentes U = a₁.b₁, D = a₂.b₂, T = a₃.b₃, Q = a₄.b₄, ..., I = a_i.b_i, ... não são pontos colineares, mas são pontos de uma cónica, a preto na construção.
     Dizemos que estes pontos de interseção formam uma pontual de 2ª ordem e há autores que definem as cónicas como pontuais de 2ª ordem, obtidas como intersecções de retas de dois feixes de 1ª ordem com centros diferentes, projetivos e não perspetivos.

Posições harmónicas numa reta

Em "Perpectives on Projective Geometry", Richter-Gebert escreve que há algumas (poucas) coleções notáveis de posições relativas de pontos que geram conjuntos harmónicos e apresenta como exemplo uma coleção de equações em x e y, a saber:

1. (-x, x; 0, ∞) = -1
2. (0, 2x; x, ∞) = -1
3. (x, y; (x+y)/2, ∞) = -1
4. (-1, 1; 0x, 1/x) = -1
5. (-x, x; 1, x2) = -1

em que para facilitar se identificam pontos numa reta com correspondentes números reais incluindo o ponto ∞ para o ponto no infinito.
Para explicitar, começa por verificar que para um ponto x arbitrário (ou número real arbitrário), recorrendo à definião de razão cruzada e às operações com expressões algébricas de variável real,
(-x, x; 1, x2) = -1, no seguinte sentido
(-x, x; 1, x2)=[(1+x).(x2-x)]/[(x2+x).(1-x)]=[(1+x).x.(x-1)] /[x.(x+1).(1-x)]=-1
Por exemplo, o par (1,4) separa harmonicamente o par (-2,2), Fixados -2, 2, 1 a posição 4 é interseção de -2'2'.r não dependendo de O nem de P (este último ponto arbitrario de 1P).

Duas determinações da razão cruzada de 4 posições harmónicas

Primeira.
Na entrada anterior, concluíamos com a afirmação de que se entre os pontos A, B, C e D colineares se estabelecesse uma relação harmónica, então a razão cruzada (a,b;c,d) seria -1. Este facto decorre do anterior resultado sobre permutações de pontos e de razões cruzadas que relembramos agora as que nos interessam para calcular a razão cruzada de quatro pontos em relação harmónica :

• (a,b;c,d)=(b,a;d,c)=(c,d;a,b)=(d,c;b,a)
  e os equivalentes resultados com conjuntos harmónicos H(AB, CD) sse H(BA, DC) sse H(CD,AB) sse H(DC,BA)
• (a,b;c,d)=1/(a,b;c,d)
  sendo que, para o caso das relações harmónicas, se provou que H(AB,CD) sse H(AB,DC), obrigando
  (a,b;c,d)=(a,b;d,c) e, portanto, (a,b;c,d).(a,b;c,d)=1 e, em consequência, (a,b;c,d)=1 ou (a,b;c,d)=-1.
  Para pares (a,b) e (c,d) em posições harmónicas em que a é distinto de b e c é distinto de d, como c-b e d-b são de sinais diferentes a razão (a,b;c,d) não pode ser positiva e só resta ser (a,b;c,d)=-1.

Assim é natural dizermos que a razão cruzada (a,b;c,d)=-1 é a razão harmónica e às razões cruzadas diferentes de -1 chamamos razões anarmónicas.

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Segunda.
Para a construção que se segue, tomamos 3 pontos colineares A, B, C sobre uma mesma reta. Para determinar um conjunto harmónico de que esses três pontos sejam elementos, tomámos um ponto auxiliar O e traçamos AO, BO e CO. Sobre CO tomamos um novo ponto auxiliar P e traçamos AP e BP. A'=AO.BP e B'=BO.AP. O quarto ponto D do conjunto harmónico é AB.A'B'=D. A e B são pontos diagonais de A'PB'O, C e D são pontos de AB dos lados opostos do quadrângulo OP e A'B'.
Pretendemos ilustrar que quaisquer escolhas para O e P dão sempre o mesmo D e ver como a relação harmónica se mantémm por permutação dos elementos de um dos pares do quaterno, e tem como consequência o valor -1 para a razão cruzada correspondente.
[A.A.M.]
O ponto O pode ser tomado como centro de uma perspetividade que transforma ABCD em A'B'C'D. Por isso, (a,b;c,d)=(a',b';c',d').
De modo análogo, P é o centro de uma perspetividade que transforma A'B'C'D em BACD e, por isso, (a',b';c',d)=(b,a;c,d). Conclui-se finalmente que (a,b;c,d)=(b,a;c,d). E, como (b,a;c,d)=1/(a,b;c,d), (a,b;c,d)=-1.

Da relação harmónica à respetiva razão harmónica

Primeira.
Na entrada anterior, concluíamos com a afirmação de que se entre os pontos A, B, C e D colineares se estabelecesse uma relação harmónica, então a razão cruzada (a,b;c,d) seria -1. Este facto decorre do anterior resultado sobre permutações de pontos e de razões cruzadas que relembramos agora as que nos interessam para calcular a razão cruzada de quatro pontos em relação harmónica :

• (a,b;c,d)=(b,a;d,c)=(c,d;a,b)=(d,c;b,a)
  e os equivalentes resultados com conjuntos harmónicos H(AB, CD) sse H(BA, DC) sse H(CD,AB) sse H(DC,BA)
• (a,b;c,d)=1/(a,b;c,d)
  sendo que, para o caso das relações harmónicas, se provou que H(AB,CD) sse H(AB,DC), obrigando
  (a,b;c,d)=(a,b;d,c) e, portanto, (a,b;c,d).(a,b;c,d)=1 e, em consequência, (a,b;c,d)=1 ou (a,b;c,d)=-1.
  Para pares (a,b) e (c,d) em posições harmónicas em que a é distinto de b e c é distinto de d, como c-b e d-b são de sinais diferentes a razão (a,b;c,d) não pode ser positiva e só resta ser (a,b;c,d)=-1.

Assim é natural dizermos que a razão cruzada (a,b;c,d)=-1 é a razão harmónica e às razões cruzadas diferentes de -1 chamamos razões anarmónicas.

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Segunda.
Para a construção que se segue, tomamos 3 pontos colineares A, B, C sobre uma mesma reta. Para determinar um conjunto harmónico de que esses três pontos sejam elementos, tomámos um ponto auxiliar O e traçamos AO, BO e CO. Sobre CO tomamos um novo ponto auxiliar P e traçamos AP e BP. A'=AO.BP e B'=BO.AP. O quarto ponto D do conjunto harmónico é AB.A'B'=D. A e B são pontos diagonais de A'PB'O, C e D são pontos de AB dos lados opostos do quadrângulo OP e A'B'.
Pretendemos ilustrar que quaisquer escolhas para O e P dão sempre o mesmo D e ver como a relação harmónica se mantémm por permutação dos elementos de um dos pares do quaterno, e tem como consequência o valor -1 para a razão cruzada correspondente.
[A.A.M.] O ponto O pode ser tomado como centro de uma perspetividade que transforma ABCD em A'B'C'D. Por isso, (a,b;c,d)=(a',b';c',d'). De modo análogo, P é o centro de uma perspetividade que transforma A'B'C'D em BACD e, por isso, (a',b';c',d)=(b,a;c,d). Conclui-se finalmente que (a,b;c,d)=(b,a;c,d). E, como (b,a;c,d)=1/(a,b;c,d), (a,b;c,d)=-1.

Invariância da razão cruzada por projetividade

A construção que se segue pretende demonstrar que a razão cruzada de 4 pontos A, B, C, D de r se mantém invariante por projetividade
[A.A.M.]

Invariância da razão cruzada por perspetividade

A construção da entrada anterior também sugere (ou decorre mesmo) da verificação da invariância da razão quadrada por uma perspetividade de centro O.
A construção que se apresenta ilustra isso mesmo. A razão quadrada dos quatro pontos A,B,C,D sobre r é a mesma razão para os quatro pontos A', B', C', D', sobre s, obtidos como transformados de A, B, C, D pela perspetividade de centro O.
Pode deslocar os pontos O, A, B, C, D e também r e s para ver(ificar) esse resultado.

[A.A.M.]

Razão cruzada de um feixe de 4 retas

A "razão cruzada" (ou razão de razões de diferenças) de quatro pontos incidentes numa mesma reta que temos vindo a estabelecer mantém-se por projetividade. É, por isso, muito importante em Geometria Projetiva e há autores que usam a "razão cruzada" para definir projetividade como a transformação geométrica pela qual a razão cruzada se mantém invariante. Não é o caso nas notas de estudo que temos vindo a publicar.

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Não vamos provar essa afirmação. Limitar-nos-emos a ilustrá-la e a pedir que a aceitem a partir das ilustrações que permitem conjeturar tal resultado.
Como é habitual em Geometria Projetiva, verificamos a dualidade em cada conceito e, por isso, vamos ver(ificar) que há uma razão cruzada de quatro retas a incidir num mesmo ponto.
A construção seguinte apresenta quatro retas incidentes em O (um feixe) cortadas por uma reta r. Poderá deslocar a reta r e veriifcar que a razão cruzada dos quadros pontos da secção (ou pontual) do feixe por r não depende da reta r. Podemos, por isso, assimilar esta razão invariante como caraterística do feixe.

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Na nossa construção a reta r é determinada por dois pontos livres E e F, que lhe permitem verificar que a razão cruzada não depende da reta r

[A.A.M.]

Razão cruzada: Propriedades elementares

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Razões de diferenças. Razão cruzada.

Nas últimas entradas, associámos pontos de uma reta a números (suas abcissas) e estabelecemos construções (relações estabelecidas entre pontos e retas) que permitiram determinar pontos cujas abcissas eram resultados de operações sobre números, abcissas de pontos dados.
Para estas correspondências entre pontos de uma reta e números socorremo-nos sempre de alguns pontos particulares, depois de termos equipado a reta com uma dada orientação (sentido na reta).
De forma simples, se fizermos corresponder ao ponto A a abcissa a=x_A e a B a abcissa b=x_B, a orientação escolhida será de A para B se a distância euclideana em sentido direto entre A e B for x_B-x_A=|AB|. De resto escrevemos BA=-AB já que quando tomamos o sentido de A para B sobre a reta AB, AB=x_B -x_A= b-a=-(a-b)=-(x_A-x_B)=-BA. (segmentos orientados...)
A construção que se segue pretende ilustrar as considerações que antes fizemos, para além de introduzir a "razão de razões" ou "razão cruzada" que goza de propriedades interessantes intrínsecas e vinculando os seus valores a relações projetivas que se estabeleçam entre pontos e entre retas ou entre pontos e retas.
Tomam-se quatro pontos A, B, C, D sobre uma reta e define-se a razão das razões entre diferenças de abcissas. Pode deslocar os pontos para ver o que acontece às diferenças e às razões.
[A.A.M.]

Subtrair

Temos vindo a apresentar construções em que se determinam pontos cujas abcissas são resultados de operações sobre as abcissas de outros pontos dados. Faltava a determinação do ponto de abcissa x-y sobre a reta de que são dados os pontos de abcissas 0, x e y. Aqui ficam as construções.
Dados os pontos 0, x, y determinamos o ponto de abcissa x-y seguindo um procedimento apoiado na construção da soma, já que y+x-y=x.
Por um ponto exerior P à reta xy tiramos uma paralela a xy e, sobre esta tomamos um segundo ponto R. Pelo ponto Q_y=0P.yR tiramos uma paralela a xy e determinamos sobre ela o ponto Q_x de xR. O ponto de abcissa x-y será PQ_x.xy
Pode deslocar os pontos x ou y verificando o que acontece quando x=y, x=0, y=0, x à esquerda de y, y=x-y, etc
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.
[A.A.M.]

Dividir x por y

Na anterior entrada tratámos da determinação dos pontos de abcissas 1/n (n natural) conhecidos que fossem os pontos 0 e 1.
Nesta entrada, nas construções apresentadas (euclideana e projetiva correspondente) apresenta-se o processo de determinação do ponto de abcissa x/y conhecidos os pontos 0, 1, x, y.
Dados 0,1, x e y colineares, começa-se por tomar um ponto P qualquer fora da reta 01. Por P tira-se uma reta paralela a 01. E sobre ela, toma-se o ponto R qualquer. D=0P.1R. Para determinar o ponto x/y, toma-se yR e M=yM.0R. Em seguida, toma-se xM e S=xM.PR. Finalmente SD e o ponto x/y=SD.xy
Do feixe centrado em D cortado pelas retas paralelas 01 e PR, tira-se que 0(x/y)/PS=01/PR e, do feixe centrado em M cortado pelas mesmas paralelas tira-se que 0y/PR=0x/PS. Da primeira e segunda igualdades conclui-se que PS/PR=0(x/y)=0x/0y
Pode deslocar os pontos x e y e ver o que acontece quando x=0, x=y, x=1, y=0, y=x/y, etc

[A.A.M.]
Projetivamente, as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.

[A.A.M.]

Dividir x por n (n natural)

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Na entrada anterior, apresentou~se o processo para determinar o ponto de abcissa xy, conhecidos os pontos de abcissa 0, x e y. Esse processo é aliás em tudo análogo ao processo que permitia determinar pontos de abcissa inteira, conhecidos os pontos de abcissas 0 e 1.
O processo para determinar um ponto de abcissa 1/n (ou x/n) com n natural, conhecidos os pontos de abcissas 0, 1 parte sempre da determinação dos pontos de abcissa 2, 3, 4, ..., n (ou 2x, 3x, ..., nx)
. No caso da construção que segue como exemplo, faz-se a divisão por 3, determinando os pontos de abcissas 1/3 e 2/3. Essa construção começa com a determinação dos pontos 2 e 3, dados os pontos 0 e 1, utilizando 0, 1, P, R, 1'=0P.1R e as paralelas a 01, tiradas por P (PR) e por 1'.
Agora tomam-se os pontos 1', 2''=2R.0P, 3''=3R.0P, Q=PR.13''. E, ficam assim determinados os pontos de abcissas 1/3 e 2/3: 1/3=Q1'.01, 2/3=Q2''.01.

[A.A.M.] Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.
[A.A.M.] Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞. [A.A.M.]

Adição

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Os métodos antes apresentados, para determinar pontos a que correspondem abcissas inteiras sobre uma dada reta, permitem também determinar pontos correspondentes a somas de abcissas de pontos dados.
Na construção que se segue, tomamos um ponto 0 e dois pontos que designamos por X e Y (x, y: abcissas) sobre uma reta. Tomamos um ponto P não incidente em 0X e por ele tiramos uma paralela a 0X. Sobre esta, tomamos um ponto R. Por Q_x = OP.XR tiramos uma paralela a 0X e a interseção, Q_y, desta com YP.
O ponto correspondente a x+y estará sobre RQ_y. Mostramos uma confirmação(?) da correção desta determinação com valores das distâncias OX, OYe O(X+Y).
Pode deslocar os pontos X, Y, P e R para confirmar que OS=OX+OY, quaisquer que sejam as posições de X e Y.
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se todos no ponto Z_∞.



[A.A.M.]

Pontual de abcissas inteiras.

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Na entrada anterior, vimos como se podem determinar pontos correspondentes a um número inteiro, dados que fossem dois pontos a que se atribuissem as abcissas 0 e 1, usando um quadrilátero completo e a reta 01 passando pelas interseções dos lados opostos sem passar por qualquer dos seus vértices.Os pontos 0 e 2 são separados harmonicamente pelos ponto 1 e ∞ : (00)(22)(1∞) é um quaterno harmónico em que 1 e ∞ são conjugados.
A construção que se segue, ilustra bem um processo de von Staudt para obter pontos correspondentes aos números inteiros, conhecidos que sejam os pontos 0 e 1.
Toma-se um ponto P fora da reta 01 e por ele uma paralela a 01. Sobre a reta 0P tome-se um ponto Q qualquer e, por ele, passe-se uma paralela a 01. A reta 1Q interseta a paralela tirada por P em R.Em seguida tome-se a reta 1P e a sua interseção Q₁ com a reta paralela a 01 tirada por Q. O ponto 2 será a interseção de RQ₁ com 01.
O processo repete-se.
Em Geometria Projetiva as retas paralelas passam por um ponto Z_∞, marcado na figura que se segue.

Representações de (AA)(BB)(CH∞) e notas a propósito

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Na construção que apresentamos abaixo, temos duas representações diferentes de dois quadriláteros completos de vértices PQRS cortados por uma reta h=AB em que A=QR.PS e B=PR.QS
C= RS.h e PQ paralela a AB ou PQ.h=H_∞.

Na figura da esquerda temos um feixe de retas concorrentes em R cortadas por duas paralelas e em que S é o ponto de encontro das diagonais do trapézio AQPB e, por isso, RS passa pelos pontos médios de PQ e AB.
Tem-se assim um processo para determinar o ponto médio de AB. É tambem método para determinar segmentos geometricamente iguais.

Na figura da direita, temos uma representação projetivamente adequada da mesma situação em que o ponto do infinito H_∞ está à vista sobre h e as retas AB e PQ nele se intersetam. E isso não significa mais do que estabelecer uma relação harmónica H(AB,CH_∞)
Podemos dizer que a construção da direita é a mesma que está à esquerda e isso quer dizer que para um quadrilátero completo nas condições da figura se AB//PQ então C é o ponto médio de AB ou C é o conjugado harmónico do ponto do infinito H_∞.
[Por analogia ao escrito anteriormente para segmentos geometricamente iguais, podemos dizer que este é também um método para determinar sobre uma reta segmentos projetivamente iguais].
Para A, B e H_∞=PQ.AB, C é único. Se C é o ponto médio de AB, PQ e AB intersetam-se em ponto do infinito.
Ou ainda se, na reta h, a A atribuirmos, por exemplo, uma abcissa 0 e a C a abcissa 1,então B terá uma abcissa 2,...

Representações projetivamente corretas (paralelismo)

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Na geometria do que se vê realmente (geometria projetiva), um dos aspetos interessantes está na representação (projetivamente correta) das figuras. Como já abordámos antes, tomando o que vemos quando olhamos os carris do comboio, o paralelismo de retas como ausência de um ponto comum é antes a interseção das retas que à vista se intersetam num ponto, ainda que esse ponto se afaste à medida que avançamos para ele (ponto no infinito ou ponto do infinito comum a um conjunto de retas paralelas ou com a mesma direção). Dadas duas retas quaisquer, elas encontram-se sempre num ponto.
No nosso estudo de geometria projetiva construímos representações interativas usando algumas operações e relações tais como a incidência, ligar dois pontos (para uma reta), intersetar retas (para um ponto). "As restantes operações geométricas (tais como medir distâncias, calcular ângulos, criar perpendiculares) requerem um tratamento especial para serem tratadas se o quisermos fazer projetivamente". Richter-Gebert no seu livro "Perspectives on Projective Geometry", recentemente editado pela Springer, escreve isso, mas escreve também que é possível e fácil modelar a operação de paralelismo da geometria euclideana no quadro da geometria projetiva: desenhar uma paralela que passa por um ponto. Vamos dar passos nesse sentido.
Na figura que se segue, à esquerda temos um paralelogramo ABCD tal como nos habituamos a desenhá-lo em estudos da geometria euclideana. Para além dos vértices e dos lados, ainda desenhámos as diagonais e medianas do paralelogramo. Nesta figura da esquerda, as retas AB, FH, CD são paralelas. Dizemos que se intersetam num ponto do infinito, seja AB.CD.FH=P_∞. Do mesmo modo, AD, EG e BC se dizem paralelas ou que se encontram num ponto do infinito, seja AD.BC.EG=Q_∞. Claro que por dois pontos passa uma e uma só reta. A uma reta que passa por pontos do infinito chamamos reta do infinito, no caso r_∞ =P_∞Q_∞.

[A.A.M.] Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M=AC.BD, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P_∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q_∞. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito r_∞=P_∞Q_∞. As restantes retas são Na figura da direita na construção, de acordo com o que podemos ver (carris do comboio), a reta do inifinito r_∞ é visível como qualquer outra reta euclideana, coerente com o que vimos quando olhamos paralelas
Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P_∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q_∞. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito MP_∞ e MQ_∞. E os pontos serão E= AB.MQ_∞, F=BC.MP_∞, G =CD.MQ_∞, H= AD.MP_∞.
Deste modo, obtivemos uma representação perspetivamente correta do paralelogramo com todos os pontos e retas que associámos....


Da memória:

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Cinderella e (ou mesmo em)
Jurgen Rishter-Gebert;Perspectives on Projective Geometry, A guided tour trough real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin:2012

Notas sobre involução - conjunto quadrangular

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Tomemos o conjunto dos pontos de intersecção dos lados de um quadrângulo completo por uma reta qualquer que não passe pelos seus vértices.
Na figura, a reta r interseta os lados do quadrângulo PQRS nos pontos A, B, C, D, E, F:
QR e PS são lados opostos que intersetam r em QR.r=D e PS.r=A
PR e QS são lados opostos que intersetam r em PR.r=E e QS.r=B
QP e RS são lados opostos que intersetam r em RS.r=C e PQ.r=F
A (AD)(BE)(CF) chamámos conjunto quadrangular que é equivalente a afirmar que a projetividade ABC→DEF é uma involução ou que ABCDEF→DEFABC


[A.A.M]
Os três pares de lados opostos do quadrângulo completo cortam qualquer reta que não passe pelos vértices em três pares de uma involução. E reciprocamente, quaisquer três pontos colineares e os seus correspondentes por involução formam um conjunto quadrangular
Daqui se retira que a construção de F, sendo dados A, B, C, D, E, pode ser vista como a determinação da imagem de E pela involução (AD)(BE).

Notas sobre a involução projetiva (unidimensional)

Há várias referências à palavra involução e definição de involução (formulada em termos dos conceitos não projetivos de distância e multiplicação aritmética) como uma relação entre pares de pontos de uma reta cujas distâncias a um ponto fixo têm produto constante (Desargues). Para exemplo, clique em Involução.
De um modo geral, designamos por involução qualquer transformação f que é inversa de si própria, i.e., tal que
∀x∈D_f, f(f(x)=x (ou f.f=id) de que é exemplo mais evidente a Reflexão entre as transformações geométricas do plano, para além da trivial identidade: id(x)=x. Lembre-se que o conjunto das reflexões munido da composição não é um grupo, mas que qualquer isometria do plano se pode obter como composta de reflexões.

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Interessa-nos agora uma definição de involução como transformação da geometria projetiva. Sem referência à palavra involução já foram usadas involuções na demonstração de teoremas da geometria projetiva do plano.
Por exemplo, considerámos as projetivades entre duas pontuais sobre uma mesma reta (que ficam definidas por 3 pares de pontos correspondentes).
Uma projetividade entre pontuais de uma reta r é uma involução se X→X' então X'→X ou XX'→X'X, ∀X. (von Staudt)
Prova-se que:
Se uma projetividade permuta dois pontos distintos é uma involução.
Sejam A e A', distintos, tais que, por uma dada projetividade, A é transformado em A' e A' é transformado em A AA'→A'A. E seja X um ponto qualquer de AA' que, pela mesma projetiviade, tem por imagem X'. Podemos escrever AA'X→A'AX' Como já provámos, quatro pontos colineares podem ser premutados aos pares por uma projetividade, ou seja, há uma projetividade para a qual AA'XX'→A'AX'X que permuta X com X' é a dada inicialmente, pois uma projetividade fica determinada quando são dados três pontos e os seus correspondentes (Teorema fundamental da Geometria Projetiva).
e, em consequência:
Uma inovução fica determinada por quaisquer dois dos seus pares de correspondentes
Quaisquer 4 pontos A, A', B, B' colineares determinam um projetividade AA'B→A'AB' que sabemos ser uma involução e que, de forma conveniente, representamos por (AA')(BB') ou (A'A)(BB') ou (BB')(AA'), etc notação que se mantém válida quando B'=B (B é um ponto duplo da involução). A projetividade determinada por AA'B→A'AB é uma involução que se representa por (AA')(BB).

Uma colineação perspetiva é produto de duas polaridades

Na figura dinâmica abaixo, mostra uma colineação perspetiva (homologia ou elação) com centro em Oe eixo o=CP que transforma A num outro ponto A' incidente na reta c=OA. C e P são pontos arbitrários sobre o eixo o (que passa por O para o caso da colineação ser uma elação). Sejam B um ponto arbitrário de c=OA e p uma reta tirada por O que interseta AC e A'C: Q=p.b=p.AC e Q'=p.b'=p.A'C.
Verificamos que aquela colineação perspetiva é a composta das duas polaridades (ABC)(Pp) e (A'BC)(Pp)

De fato, a primeira polaridade (ABC)(Pp) transforma os quatro pontos A=b.c, P, O=c.p, Q=b.p nas quatro retas a=BC, p, o=CP, BP. E a segunda polaridade (A'BC)(Pp) transforma estas últimas retas em A'=b'c, P, O=c.p, Q'=b'.p
A composta das duas polaridades transforma o quadrângulo APOQ em A'POQ' que é a única colineação projetiva que transforma um quadrângulo noutro (considerados os lados e os vértices por uma ordem determinada), como provámos anteriormente. Por ser única é a colineação perspetiva considerada inicialmente de centro O e eixo o que transforma A em A', seja ela homologia ou elação.

Homologia como produto de polaridades

A homologia de centro O e eixo o=JL que transforma A em A' e B em B' pode ser obtida como produto de duas polaridades (OJL)(Ap) e (OJL)(A'p) em que p pode ser um reta qualquer que não passe por qualquer dos vértices do triângulo ODF autopolar comum às duas polaridades. Para provar isso, basta ver que a homologia e a composta das duas polaridades transforma o quadrângulo OJLA em OJLA'.


[A.A.M.]
Os pontos O, J e L são pontos invariantes da homologia que transforma A em A' (B em B' e C em C').
Pela polaridade (OJL)(Ap) seguida da polaridade (OJL)(A'p), OJLA→o'j´l'p→OJLA' ou seja a composta transforma OJLA em OJLA'. Lembra-se que uma polaridade (OJL)(Ap) transforma O em o'=JL e esta o' em O,... e se transforma A em p e p em A, a polaridade (OJL)(A'p) transforma JL em O (e O em JL)... como transforma p em A' (e A' em p)

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É óbvio que esta construção (já várias vezes repetida...) e este raciocínio feito para provar que uma homologia pode ser expressa como produto de duas polaridades não pode ser estendido para a elação em que O incide sobre o.
Com outra construção, provaremos que uma colineação perspetiva (homologia ou elação) é sempre um produto de duas polaridades.

Pentágono autopolar

Considere o pentágono de vértices A, B, C, D, E e a correlação que transforma B em b=DE, C em c=AE, D em d=AB e E em e=BC que também transforma e=BC em b.c=E, CD=a em c.d=a, b=DE em d.e=B e o ponto diagonal b.e=F na reta BE=f.
Esta correlação projetiva que transforma cada vértice do triângulo FBE no seu lado oposto é uma polaridade desde que transforme a em A, a saber (FBE)(Aa).
Fica assim provado que a correlação projetiva que transforma quatro vértices de um pentágono nos seus lados opostos é uma polaridade e transforma os restantes vértices nos restantes lados. Este pentágono em que cada um dos seus 5 vértice é polo do seu lado oposto é um pentágono autopolar, para a polaridade acima especificada.

Teorema de Hesse

As quatro retas a, b, c, d da figura intersetam-se em b.c=A, a.c=B, a.b=C, a.d=A₁, b.d=B₁ e c.d=C₁. A figura representa pois um quadrilátero completo (4 retas e 6 pontos: (62,43))


[A.A.M.]

Considerem-se, para uma dada polaridade, a' polar de A passando por A₁ de a, e b' polar de B passando por B₁ de b. (A, A₁) e (B, B₁) são pares de pontos conjugados. Pelo teorema de Chasles, a polar de C encontra c=AB num ponto de A₁B₁=d, obrigatoriamente C₁=c.d, que é o mesmo que dizer que C é conjugado de C₁.
Ficou assim provado que
Se dois pares de vértices opostos de um quadrilátero completo são pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade, resultado conhecido por teorema de Hesse.

Determinar polar de X em (ABC)(Pp) - Método geral.

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Pela polaridade (ABC)(Pp), a polar de um ponto X (não incidente em AP, BP ou p) é uma reta x=X₁X₂ assim determinada
A₁=a.PX,   P₁=p.AX,   X₁=AP.A₁P₁
B₂=b.PX,   P₂=p.BX,   X₂=BP.B₂P₂



[A.A.M.] Consideremos os triângulos ABC auto-polar, PAX e pax em que p é polar de P, a polar de A e x polar de X (esta que procuramos determinar) Aplicando o teorema de Chasles, os triângulo PAX(amarelo) e pax são perspetivos:
Os seus lados AX, XP e PA encontram as polares p, a, x dos seus vértices em 3 pontos colineares: P₁=AX.p, A₁=XP.a e PA.x.
X₁= P₁ A₁. PA é um dos pontos em que incidirá a polar x de X.
De modo análogo, aplicando o teorema de Chasles a PBX (verde) e pbx, determinamos um outro ponto da polar x de X, X₂=(BX.p)(XP.b).PB

Esta construção falha quando X for um ponto de AP, pois então A₁P₁=AP e X₁ fica indeterminado. Mas X₂ pode ser determinado e a polar de X é A_pX₂ em que A_p=a.p. De modo análogo, quando X estiver em BP, a sua polar é B_pX₁
Para determinar a polar de um ponto X de p, podemos aplicar uma construção dual da que temos vindo a utilizar para determinar o polo Y de uma reta y que passe por X. Esta reta y pode ser qualquer exceto p ou PX (o mais conveniente é escolher y=AX ou, caso aconteça que esta coincida com PX, escolha-se y=BX). E a polar de X é x=PY.

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Para qualquer ponto X, não incidente em AP, BP ou p a sua polar (pela polaridade (ABC)(Pp) é x=[AP.(a.PX)(p.AX)][BP.(b.PX)(p.BX)] Um exercício interessante pode ser escrever a expressão (dual da anterior) para o polo X de uma reta x que não passe por A_p, B_p ou P e desenhar a figura que ilustre esta construção dual.

Triângulos polares perspetivos por um ponto

Na entrada anterior demonstrámos que se ABC e A'B'C' (ou abc e a'b'c') são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos ou mais concretamente, demonstrámos que.
se as polares a', b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.

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É certo que se dois triângulos polares ABC e a'b'c' (distintos) são perspetivos relativamente a uma reta n=A₁B₁, serão perspetivos relativamente a um ponto N. Acrescente-se que este ponto N é o polo dessa reta n.
Retomamos a construção dinâmica do artigo anterior.


[A.A.M]

A reta n foi obtida como a reta passando pelos pontos A₁=a.a'=BC.a', B₁=b.b'=AC.b', C₁=c.c'=AB.c'.
O polo N dessa reta n é obtido como ponto de interseção das retas (b'.c')A e (a'.c')B. Como é óbvio a reta (a'.b')C também passa por N que é o centro da perspetividade que transforma ABC em (b'.c')(a'.c')(a'.b').

Teorema de Chasles

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Uma polaridade é uma correlação que transforma um ponto A numa reta a' e transforma esta em A, preservando a incidência.
Dado um triângulo qualquer de vértices A,B,C e lados a=BC, b=AC e c=AB, podemos obter um novo triângulo (polar do anterior) em que a', b' e c' sejam as polares de A, B, C respetivamente (ou em que A', B' e C' sejam os polos de a, b e c respetivamente).
É claro que, sendo A→a'→A; B→b'→B e C→c'→C; A'B'C'→ABC e a'b'c' →abc são projetividades.

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Chasles demonstrou que se ABC e a'b'c' são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos.
Dito de outro modo, se as polares a',b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.
[A.A.M.] Seja ABC um triângulo de lados BC=a, AC=b e AC=c. E sejam a', b' e c' as polares de A, B e C. Se a' distinta de a, b' distinta de b e c' distinta de c, estes pares de retas intersetam-se: A₁=a.a', B₁=b.b' e C₁=c.c' Podemos determinar as polares destes pontos, só considerando a incidência preservada. Por exemplo, como C₁=c.c'=AB.c', a polar de C₁ é (a'.b')C=r.
Para o ponto P=c.b'=AB.b' a sua polar é (a'.b')B=p. Consideremos ainda o ponto a.b'=BC.b'=R. Como já vimos, há uma projetividade que transforma qualquer pontual C₁APB em AC₁BP e, pela polaridade, AC₁BP transforma-se em a'rb'p que, por sua vez, se transforma em A₁CRB (secção do feixe a'rb'p pela reta a).
Como a projetividade C₁APB → A₁CRB tem um ponto invariante B, a projetividade C₁AP→A₁CR é uma perspetividade. O centro da perspetividade B₁ = AC.PR e, por isso, A₁C₁ incide em B₁. Fica assim provado que A₁, B₁ e C₁ são colineares.
Isto não funciona se A₁ ou B incidirem em b'.

Determinação da polar de um ponto X em (ABC)(Pp)

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Na anterior entrada provou-se a polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e em que p é uma reta que não passa por P nem por A, B ou C. Vamos determinar a polar de um ponto X qualquer não incidente em c nem em CP_c\{P}. Sejam A→a, B→b,C→c, P→ p os pares que definem a polaridade. A partir de P, determinámos P_a=a.AP, P_b=b.BP e P_c=c.CP. De modo análogo, a partir de X, determinamos X_a=a.AX, X_b=b.BX, X_c=c.CX. Sendo p a polar de P, determinámos A_p=a.p, B_p=b.p e C_p=c.p.
Para determinar a polar de X pela polaridade (ABC)(Pp), temos de determinar dois dos seus pontos A_x=a.x, B_x=b.x e C_x=c.x, pelas projetividades (BC)(P_aA_p), (AC)(P_bB_p) e (AB)(P_cC_p) aplicadas respetivamente a X_a, X_b e X_c. Determinamos x=A_xB_x.
[A.A.M.] A construção apresenta a determinação de dois deles, B_x e A_x, descrevendo a construção de B_x.
Pela projetividade (AC)(B_pP_b), determinar B_x como transformada de X_b :
a) A projetividade (AC)(B_pP_b) é tal que A→C →A e B_p→P_b→B_p que pode ser descrita como uma sequência de perspetividades, de centros Q, A e R assinalados na "figura" dinâmica. Tomamos um ponto R qualquer não incidente na reta b=AC e as retas AR, CR, B_pR. Em seguida tomamos uma reta que corta AR em T, B_pR em W e CR em Q. E finalmente a reta AQ que corta B_pR em Z. ACB_pP_b →^QZRB_pW→^AQTP_bW→^RCAP_bB_p
b) Para determinar B_x como imagem de X_b por (AC)(B_pP_b), sobre a construção desta tomamos a reta X_bT e a reta CW que se intersetam em G. A reta RG interseta b em B_x. Chamamos E a CG.RA e a X_bT.CR chamamos F.
Confirmemos a projetividade (P_bB_p)(X_bB_x).
Para isso, traçamos a reta X_bW que interseta RP_b em F e RB_x em Y e tomamos o ponto RB_x.P_bW=P₀
P_bB_pX_bB_x →^WP₀RYB_x →^P_bWFYX_b →^RB_pP_bB_xX_b
Do mesmo modo, se procedeu para determinar A_x e se procederia para verificar que (X_aA_x)(P_aA_p).
A polar de X é assim obtida x=A_xB_x.

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Pode deslocar o ponto X, bem como outros, para verificar que esta construção não falha para X a coincidir com P, a incidir em AP ou em BP, mas falha para pontos X≠P sobre CP e sobre c=AB. Apresentaremos um processo geral para determinar a polar de um ponto X na polaridade (ABC)(Pp) em que p é a polar de P não incidente em P.

Polaridade a partir de um triângulo auto-polar

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Mais do que uma vez, introduzimos ligações entre as palavras polar, polo e triângulos, de que são exemplos os artigos Polar trilinear de um ponto, Polar trilinear , Da polar trilinear para o pólo , etc. Polaridade trilinear pode já ter sido expressão utilizada. Essas expressões e, em particular, a polaridade trilinear introduzida não é uma polaridade, no sentido de que não é uma correlação projetiva que faz corresponder a cada ponto (reta) uma só reta (ponto), tal que se X tem por polar x, x tem por polo X e preservando a incidência.

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Vamos agora provar que
Qualquer correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade
Considere-se a correlação ABCP→abcp, em que a, b, c são os lados de um triângulo ABC e P é um ponto distinto dos vértices do triângulo. E seja p uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo.
O ponto P e a reta p determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é uma polaridade. De futuro, esta polaridade assim definida pode ser representada por (ABC)(Pp)

Triângulo auto-polar.

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Lembramos que:
a) Uma polaridade é uma correlação projetiva que, se transforma um ponto A numa reta a', transforma a' em A: A polo de a', a' polar de A. b) Se A é um ponto de b e B, polo de b, é um ponto de a, polar de A, dizemos que A e B são pontos conjugados, e que a e b são retas conjugadas.
c) Um ponto A que incide na sua polar a' é conjugado de si mesmo (auto-conjugado). Dualmente, se uma reta a contem o seu polo, é conjugada de si mesma (auto-conjugada).
No artigo anterior, demonstrámos que Uma reta que passa por 2 pontos conjugados de si mesmos não pode ser conjugada de si mesma
e que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos conjugados de si mesmos.
Pode demonstrar-se também que
uma reta auto-conjugada contém um só ponto auto-conjugado.
Uma reta conjugada de si mesma contém o seu polo, que é auto-conjugado (conjugado de si mesmo). A existência sobre a reta auto-conjugada de outro ponto auto-conjugado é absurda já que haveria dois pontos diferentes associadas a uma mesma reta por uma correlação que associa a cada ponto uma só reta e a cada reta um só ponto.
Sejam dois pontos, X e Y, conjugados por uma polaridade sobre uma reta que não seja conjugada de si mesmo. Então há uma correspondência que associa a qualquer ponto de c, não autoconjugado, um outro ponto de c.
De facto, na reta c, não autoconjugada, a projetividade X→Y, em que Y=c.x, transforma qualquer não auto-conjugado ponto B num outro ponto A=b.c, cuja polar é BC=a. A mesma projetividade transforma A em B.

Dualmente, as retas x e CX=y são emparelhadas com retas conjugadas do feixe centrado em C.

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Um triângulo como ABC, em que cada vértice é o polo do seu lado oposto (ou em que quaisquer dois vértices são pontos conjugados, ou em quaisquer dois lados são retas conjugadas) é classificado como triângulo auto-polar

Polos e polares. Conjugados e auto-conjugados

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Haverá limitações à ocorrência de auto-conjugados?
Demonstramos que
Uma reta que passa por 2 pontos auto-conjugados não pode ser auto-conjugada
Se uma reta a passar por 2 pontos auto-conjugados fosse conjugada de si mesma, teria de conter o seu polo A e pelo menos, um outro ponto B auto-conjugado. A reta polar de B conteria A e B e, por isso, coincidiria com a. Quer dizer que A e B teriam a mesma polar, o que é impossível já que a polaridade é uma correlação que associa a cada reta um só ponto e a cada ponto uma só reta.
E vamos demonstrar que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos auto-conjudados

Sejam p e q duas retas, passando por C, polares de 2 pontos auto-conjugados: P e Q. Chamemos c à reta que passa por P e Q, c=PQ.
Sobre p tomemos um ponto R, distinto de P e C. A polar r de R passa por P. E tomemos r.q=S que é o polo de s=QR.
T=r.s é o polo de t=RS.
B=t.c é o polo de CT=b que inerseta c em A, conjugado harmónico de B relativamente a P e Q.
O ponto B não pode coincidir com Q nem com P, pois se fosse B=Q, então teria de ser R=C e se fosse B=P, teria de ser S=C, r=p e R=P o que seria absurdo já que assumimos R distinto de P e de C. Como A≠B por serem conjugados harmónicos, B não é conjugado de si mesmo.

Como as polares de uma pontual formam um feixe de retas projetivamente relacionado com a pontual, cada ponto X em c, determina um conjugado Y em c que não é mais que o ponto em que a polar x de X encontra c
X→x→Y

Quando X=P, x=p e Y=P. P é um ponto invariante desta projetividade. Do mesmo modo, se prova que Q é um ponto invariante. Mas quando X é B, Y é um ponto distinto de A e, por isso, a projetividade não é a identidade. P e Q são os únicos pontos invariantes; ou seja P e Q são os únicos pontos auto-conjugados em c. Fica assim provado que c não pode ter mais que dois pontos auto-conjugados.

Correlação: Polaridade

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Chamamos polaridade a uma correlação que transformando cada ponto A numa reta a', transforma esta reta a' no ponto A.
Dizemos de a' que é polar de A e que é o polo de a'.
Por esta correlação projetiva que preserva a incidência, a cada ponto de a' corresponderá como polar uma reta passando por A (polo de A') ou que se A é polo de a', é centro de um feixe das retas polares dos pontos de a'.
Como uma polaridade dualiza as incidências, sempre que A incide numa reta b, a polar a de A passa pelo polo B de b e, neste caso, diremos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas. Quando A é um ponto da sua polar a, A é conjugado de si mesmo (ou auto-conjugado); A está sobre a sua polar a e a passa pelo seu polo A.
Haverá limitações à ocorrência de autoconjugados?
Demonstramos que
Uma reta que passa por 2 pontos autoconjugados pode não ser autoconjugada

Correlação projetiva

Neste estudo de geometria projetiva, já considerámos correspondências relacionando um ponto com uma reta e uma reta com um ponto: por exemplo a correspondência elementar que relaciona uma pontual sobre r com um feixe de centro O, em que a pontual é a secção por r do feixe. A projetividade foi definida como uma composta destas correspondências elementares
A extensão deste conceito ao plano, consistirá numa transformação X→x' relacionando cada um dos pontos do plano com uma só reta do plano e a transformação dual x→X' que relaciona cada uma das retas do plano com um só ponto do plano:
∀X ∃¹x': X→x'
e, dualmente:
∀x ∃¹X': x→X'
Chamamos correlação a qualquer transformação do plano que a cada ponto faz corresponder uma reta e a cada reta faz corresponder um ponto presevando a relação de incidência em conformidade com o princípio da dualidade. De acordo com esta definição, a correlação transforma fileiras (ou pontuais) em feixes, feixes em fileiras, triláteros em trivértices, quadriláteros em quadrivértices, etc.
A correlação é um conceito autodual, a inversa de uma correlação é uma correlação e a composta (ou produto) de duas correlações é uma colineação.

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Uma correlação projetiva é a correlação que transforma cada forma unidimensional projetivamente, no sentido de que se um ponto Y sobre uma reta b é transformado numa reta y', esta tem de passar pelo ponto B', imagem de b.

Seguindo a construção acima, provamos que qualquer correlação que transforma uma pontual projetivamente é uma correlação projetiva
Seja a e A' a reta e o ponto correspondentes pela projetividade que relaciona uma pontual de pontos X e um feixe de retas x'. Precisamos de estabelecer a relação entre dois pares , b e B', pela mesma projetividade. Seja Y um ponto de b e O um ponto fixo não incidente em a nem em b. E tomámos a reta OY que interseta a em X. A correlação dada transforma o ponto O numa reta o' fixa que não incida em A' nem em B'. OY é transformada no ponto o'.y' que é ligado a A' pela reta x'. Y e X são perspetivos por O e x' é perpsetivo com y' pelo eixo o'.
Como X e x' estão relacioados por uma projetividade, temos Y→^OX→x'→^o'y' a correlação induz uma projetividade Y→y' entre b e B', como queríamos.

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Para obter o resultado dual para um feixe e a correspondente pontual temos de considerar a pontual de pontos Y em b como uma secção do feixe centrado em B' das retas y' .

Colineação perspetiva - elação

ELAÇÃO
Se o centro O da perspetividade incide no eixo o da perspetividade, a colineação perspetiva toma o nome de elação
Uma elação está determinada quando são dados o seu eixo e um par de pontos correspondentes.
Na construção que se segue, são dados o eixo o e o par de correspondentes C e C'. O centro O fica assim determinado O=CC'.o. Para A qualquer, A' estará sobre OA e sobre EC' sendo E=AC.o e para qualquer B, B' está na interseção de OB com DC'.

Os pontos que são imagens de si mesmo (invariantes) por uma elação estão todos sobre o seu eixo.

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Qualquer colineação que tenha uma e não mais que uma pontual de pontos invariantes (imagens de si mesmos) é perspetiva.
Se uma colineação tem uma pontual de pontos invariantes, tem certamente um feixe de retas invariantes (imagens de si mesmas).

Colineação perspetiva - homologia

Já vimos no artigo anterior que quaisquer dois triângulos perspetivos estão relacionados por uma colineação perspetiva. Quaisquer dois triângulos perspetivos estão relacionados por uma colineação perspetiva que pode ser uma homologia ou uma elação conforme o centro e o eixo não são ou são incidentes.

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HOMOLOGIA
Fizemos construções de triângulos perspetivos em que os centros de perspetividade não incidiam no eixo de perspetividade. Quando isto acontece a colineação perspetiva toma o nome de homologia.
Uma homologia fica determinada quando são dados os centro e eixo e um par de pontos correspondentes colineares com o centro.
Na construção que se segue, tomaram-se o centro O, o eixo o, A e A' (sendo AA' incidente em O). Para um B qualquer, toma-se F=AB.o e B'=OB.FA'. Do mesmo modo, para um C qualquer, toma-se E=AC.o e C'=OC.EA'.

Para a homologia, o centro é único ponto invariante fora do seu eixo.

Colineação perspetiva

Na construção que se segue, os dois triângulos PQR e P'Q'R' estão relacionados por uma perspetividade de centro O.
O Teorema de Desargues garante que esses triângulos são perspetivos em relação a uma reta o.
Será que esta perpetividade de centro O é uma colineaçao?
Usando o resultado sobre colineações projetivas entre dois quadriláteros, vamos provar que isso é verdade.
Como vimos no anterior artigo, há uma só colineação projetiva que transforma o quadrângulo DEPQ em DEP'Q'. Esta colineação projetiva transforma a reta o=DE em si mesma e a reta PQ em P'Q', deixa invariante o ponto o.PQ=F=o.PQ'. E, como aceitámos, se uma projetividade deixa invariantes três pontos de uma reta, então deixa invariantes todos os pontos da reta o. Para essa colineação projetiva, as duas retas PP' e QQ' são invariantes e incidem no ponto O, também ele invariante. O ponto R=DQ.EP é transformado em DQ'.EP'=R'. O dual do segundo axioma do artigo anterior "Se uma projetividade deixa invariantes cada uma de três retas passando por um ponto O, então qualquer reta passando por O é imagem de si mesma por essa projetividade", garante que para a projetividade DEPQ→DEP'Q', são invariantes todas as retas passando por O.
Do mesmo modo, a colineação projetiva que relaciona os quadrângulos EFQR e EFQ'R' para a qual E e F são invariantes transforma QR em Q'R' e a colienação projetiva que relaciona DFPR e DFP'R' transforma PR em P'R' e DF em si mesma.
Fica assim demonstrado que a perspetividade de centro O, a relacionar três retas que se inersetam duas a duas sobre retas do feixe de centro O, é uma colineação.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Esta colineação relacionando dois triângulos perspetivos chama-se naturalmente colineação perspetiva.
O ponto O e a reta o, a partir dos quais os triângulos são perspetivos, tomam os nomes de centro e eixo da colineação perspetiva.

Colineações projetivas. Quadriláteros.

(1) A única projetividade que transforma quatro retas lados de um quadriátero completo em si mesmas é a identidade. Do mesmo modo, a identidade é a única colineação projetiva que transforma quatro pontos vértices de um quadrângulo completo em si mesmos.
Para este resultado ( e os outros, claro!) com quadriláteros convém ter presentes os seguintes axiomas
(a) Os três pontos diagonais de um quadrilátero completo nunca são colineares.
e
(b) Se uma projetividade deixa invariantes cada um de três pontos distintos sobre uma reta, então qualquer ponto da reta é imagem de si mesmmo por essa projetividade.

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(2)Entre quaiquer dois quadriláteros completos (ou quadrângulos) com os quatro lados (vértices) correspondentes por uma dada ordem, só há uma colineação projetiva que transforma um no outro.
Constrói-se.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Notas de demonstração:
a) Exige-se uma dada ordem para os lados correspondentes para só termos 4 pares de pontuais projetivas que poderá verificar conduzem a uma única colineação (e evitar 24 possíveis combinações se não estabelecermos essa ordem).

b) Claro que podemos definir uma projetividade entre as pontuais DAF e D'A'F'e entre DCE e D'C'E' definidas na construção. Do mesmo modo, relacionaríamos CBF com C'B'F' e ABE com A'B'E'.
Tomemos agora uma reta a. E suponhamos que a=XY em que X está em DE e Y ou DF. As projetividades entre DAF e D'A'F' e entre DCE e D'C'E' determinam a'=X'Y', sendo DCEX e D'C'E'X' projetivos, bem assim DAFY e D'A'F'Y'.
Para provar que a correspondência entre a e a' é uma colineação, temos de verificar que relaciona pontos com pontos e de tal modo que a incidência seja preservada. Para isso, considera-se a como reta de um feixe de tal modo que X e Y sejam perspetivos. Por construção de a', temos que X' é imagem de X e Y' é imagem de Y por projetividade. E como D é o invariante para a perspetividade X→Y, D' é o invariante para a perspetividade X'→Y'.
Tal como a, a' também é uma reta de um feixe o que quer dizer que retas concorrentes são transformadas em retas concorrentes. Uma projetividade X→X' chegou para garantir uma transformação reta a reta e ponto a ponto que preserva a incidência: a→a' é uma colineação.

c) Preciso será ainda provar que esta colineação projetiva que leva de ABCDEF para A'B'C'D'E'F' é única, o que se faz por absurdo recorrendo ao resultado enunciado imediatamente antes deste.

Colineações projetivas. Triângulos.

Depois de apresentadas as transformações projetivas básicas (projetividades e perspetividades), referiremos e estudaremos algumas designações e propriedades de transformações projetivas particulares que vão ser utilizadas.

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(a) Uma colineação é uma transformação (do plano no plano) de ponto a ponto ou de reta a reta que preserva a relação de incidência. Transforma pontuais em pontuais, feixes em feixes, quadriláteros em quadriláteros, etc.
As translações, rotações, reflexões, dilações são exemplos conhecidos de colineações.
(b) A inversa de uma colineação é uma colineação, a identidade é uma colineação e a composta (ou produto) de duas colineações é uma colineação.

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Uma colineação projetiva transforma pontuais (e feixes) projetivamente no sentido de que, se transforma os pontos X de uma reta x em pontos X' de x', a relação entre X e X' é uma projetividade (bem como a relação entre x e x').

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(c) Vejamos um exemplo de colineação projetiva

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Sejam x e y as retas correspondentes por projetividade. A construção X> → Y dá um processo geral para definir uma projetividade entre os pontos de x e os pontos de y, partir de uma composta de perspetividades, com recurso a uma reta z auxiliar e centros O₁ e O₂ não incidentes em qualquer dessas retas. Pode deslocar X em x para verificar que
∀ X∈ x, ∃¹Y∈y: Y é obtido de X por projetividade.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Com recurso à projetividade que relaciona ponto a ponto as retas x e y, pudemos estabelecer ou construir uma relação biunívoca ente os pontos de outras duas quaisquer retas a e a' b e b', c e c', isto é, a projetividade entre x e y induz uma colineação entre dois triângulos (a,b,c) e (a',b',c') (ABC e A'B'C') . Tomámos dois pontos O e O' não incidentes em quaisquer das retas anteriormente consideradas. Seja P um ponto qualquer (variável) da reta a=BC. Determinamos P₁ sobre x, P₁=PO.x e pela projetividade entre x e y, determinamos o correspondente P₂ de P₁. Finalmente determinamos P' sobre a', P'=P₂O'.a'. Pode deslocar P sobre a para confirmar que P' se desloca sobre a', que quando P=B, P'=B', ... Do mesmo se procede para os pontos das retas b e c

em a=BC, P persp_O P₁ proj P₂ persp_O'P' em a'=B'C': P→P' por uma projetividade
em b=AC, Q persp_O Q₁ proj Q₂ persp_O'Q' em b'=A'C'
em c=AB, R persp_O R₁ proj R₂ persp_O'R' em b'=A'B' .
Concluindo: uma projetividade de x em y induz uma colineação como uma transformação f ponto a ponto e reta a reta que preserva a incidência transformando projetivamente um triângulo noutro:
∀ (l,l'), ∀ L∈ l., .∃¹L'∈l': f(L)=L'. Claro que f^-1(L')=L. Repare que A=AB.AC e A'=A'B'.A'C',… como é óbvio

De um quadrilátero a outro com o mesmo triângulo

Na construção que se segue, tomámos um quadrilátero completo de vértices P,Q, R, S. Os pontos A, B, C são as interseções de lados PS.RQ=A, QS.RP=B e QP.RS=C que não são vértices. Ao triângulo ABC chamamos triângulo diagonal de lados a=BC,b=AC,c=AB.
Acrescentando as interseções dos lados do triângulo ABC com os lados do quadrilátero de vértices P, Q, R, S, a saber:
BC.QR=A₁, AC.PR=B₁, AB.QP=C₁ e BC.PS=A₂, AC.QS=B₂, AB.RS=C₂; que definem as retas p=A₁B₂,
q=B₁A₂, r=A₂B₂ e s=A₁B₁, obtemos um quadrilátero de lados p, q, r e s, cujo triângulo diagonal a, b, c é o mesmo triângulo ABC, diagonal de PQRS.



[A.A.M.]

Demonstração do Teorema de Desargues

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos quando estão relacionados por uma perspetividade. Esta noção estende-se a figuras envolvendo mais do que um ponto e mais do que uma reta. Dois exemplares de uma figura da mesma espécie dizem-se perspetivos se entre os seus pontos se pode estabelecer uma correspondência um para um que seja tal que os pares de pontos correspondentes estão sobre retas concorrentes ou se entre as suas retas se pode estabelecer uma correspondência uma a uma que seja tal que os pares de retas correspondentes se intersetam em pontos colineares.
Na construção abaixo há dois triângulos PQR e P'Q'R' perspetivos já que os lados correspondentes PP', QQ' e RR' incidem no ponto O. Será que os lados correspondentes se intersetam em pontos colineares? Como se vê na figura, D=RQ.R'Q', E=PR.P'R' e F=PQ.P'Q'. A figura sugere que são colineares. Serão?
Na construção, tomámos A=OP.DE, B=OQ.DE e C=OR.DE e, por isso OPAP' é perspetivo (por E) a ORCR' que, por sua vez, é perspetivo (por D) a OQBQ'. Assim podemos dizer que O é imagem de si mesmo pela projetividade entre as pontuais PAP' e QBQ' e, conforme já vimos antes, esta projetividade é uma perspetividade. O centro desta perspetividade só pode ser F e este está sobre AB que é DE. Assim D, E e F são colineares.
Acabamos de demonstrar que se dois triângulos são perspetivos em relação a um ponto são perspetivos em relação a uma reta.

[A.A.M.] Este resultado, agora demonstrado, é o que chamámos Teorema de Desargues, que assim pode deixar de ser considerado axioma.
Alguns axiomas foram sendo referidos e, entre estes, referíamos o Teorema de Desargues como axioma e, a partir dele, demonstrávamos o dual.

Dual do Teorema de Pappus

O dual do teorema de Pappus pode ser enunciado como segue:
Se os seis lados de um hexágono passam alternadamente por dois pontos, as três diagonais são concorrentes
Se tomarmos o hexágono definido pela sequência de lados ab'ca'bc', as suas três diagonais serão (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b')


[A.A.M.] Se o teorema de Pappus tem a ver com o eixo de projetividade entre pontuais iniciado anteriormente, o seu dual tem a ver com o centro da projetividade entre feixes, também já iniciado em anterior publicação
Se dois feixes de retas a,b,c por R e a',b',c' por S então as retas (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b') são concorrentes
Aqui fica a figura publicada para o centro de projetiivdade entre feixes. É um exercício interessante fazer a dualização da demonstração do Teorema de Pappus como demonstração do dual.

De outro modo, enunciar e demonstrar o Teorema de Pappus

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Para Coxeter, chama-se hexágono a um conjunto de seis pontos (vértices) sem exigir que não haja ternos de pontos colineares. Nestas condições, o teorema de Pappus pode aparecer enunciado assim:
Se os seis vértices de um hexágono estão alternadamente sobre um par de retas, então os três pares de lados opostos encontram-se em três pontos colineares.
Tomam-se ABC sobre a reta r e A'B'C' sobre a reta s e o hexágono AB'CA'BC', do qual os pares de lados opostos são B'C e BC', C'A e CA', A'B e AB' cujas interseções estão marcadas na construção abaixo, como L=B'C.BC', M=C'A.CA', N=A'B.AB'.
Se considerarmos a projetividade entre as pontuais ABC e A'B'C' para a qual A' é imagem de A, B'de B e C' de C, a figura sugere que L, M e N estão sobre o eixo dessa projetividade (a vermelho na figura). Será que L, M, N são mesmo colineares?


[A.A.M.] Demonstração: Na construção agora considerada, acrescentaram-se os pontos J=AB'.CA', E=AB.A'B' e K=AC'.CB'.
Fácil é ver que ANJB' é perspetivo por A' com ABCE que, por sua vez é perspetivo com KLCB' por C'.
Assim, como a composta de duas perspetividades é uma projetividade, podemos concluir que para a projetividade entre as pontuais ANJ e KLC, B' é ponto duplo (imagem de si mesmo). Se tem um ponto duplo B', esta projetividade é uma perspetividade por M, e M incide em NL, o que é o mesmo que dizer que L,M,N são colineares

Teorema de Pappus

Quando uma projetividade entre duas pontuais ou dois feixes é perspetividade

Uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas é uma composta de duas perspetividades. Para quaisquer duas pontuais de 3 pontos sobre bases distintas, sabemos determinar as duas perspetividades que compostas são a projetividade pedida. Haverá projetividades que são perspetividades?
Vamos provar que: uma projetividade que faz corresponder a cada ponto de uma pontual um só ponto de outra pontual em base distinta é uma perspetividade quando e só quando o ponto comum às duas retas (bases das pontuais) é comum às duas pontuais e é imagem de si mesmo pela projetividade
Assim:
1) Uma perspetividade deixa invariante o ponto comum às duas retas.
2) Se uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas transforma um ponto E de uma pontual em si mesmo como ponto da outra pontual, este ponto comum às duas pontuais é comum às duas retas. Dados A,B, E e A', B', E, a correspondência A→A', B→B' e E→E é uma projetividade que é também a perspetividade de centro O, com O=AA'.BB'.
[A.A.M]

Projetividade entre conjuntos harmónicos

Vamos provar que: quaisquer dois conjuntos harmónicos de 4 pontos colineares ou quatro retas concorrentes estão relacionados por uma única projetividade.
Construímos dois conjuntos harmónicos um (AA,BB,CF) sobre r e outro (A'A',B'B', C'F') sobre s. Verificam-se as relações harmónicas H(AB,CF) e H(A'B',C'F'). A projetividade determinada por ABC e A'B'C', de que determinámos o eixo (AC'.A'C)(BC'.B'C), transforma F num outro ponto, seja F''. Para determinar este ponto sobre s traça-se, por exemplo, FB' e toma-se o ponto dessa reta que está no eixo, seja M. F'' será a interseção de BM' com s. Como as projetividades transformam conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos e o conjugado harmónico de C' é F' relativamente a A'B' e é único, forçosamente a projetividade que leva de A a A', B a B' e C a C' leva de F para F'. Ou seja F''=F'
Se H(AB,CF) e H(A'B',C'F'), a projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' obrigatoriamente transforma F em F'. O ponto que é imagem de si mesmo toma o nome de ponto duplo (F=F'=r.s) Deste resultado se tira que há uma projetividade que relaciona duas redes harmónicas ou de racionalidade, bem como duas sequências harmónicas. O mesmo raciocínio pode ser usado para a projetividade estabelecida entre dois feixes harmónicos distintos, pois ao intersetarmos cada um deles por uma reta caímos no caso das pontuais. De um modo geral, uma projetividade entre feixes (abf por R e a'b'f' por S) é uma perspetividade se e só se houver uma reta de ambos os feixes for transformada em si mesma, isto é, f=f'=RS. Esta reta que é imagem de si mesma toma o nome de reta dupla.

[Exercício Interativo]- Determinar uma original de uma projetividade entre feixes

Considere a projetividade definida pelos feixes a,b,c por O₁ e a', b', c' por O₂ em que a é correspondente de a', b de b' e c de c'. Determine a reta d do feixe por O₁ a que, por essa projetividade, corresponde d'.
Passo a passo

[A.A.M.]

Centro da projetividade entre dois feixes

Definimos o eixo da projetividade entre duas pontuais A,B,C sobre r e A', B', C' sobre s.
Dualmente deve haver um ponto especial para a projetividade que é definida por dois feixes a, b, c de centro em R e a', b', c' de centro em S.
Assim como tomámos as retas AB' e A'B que se intersectam em K e as retas AC' e A'C que se intersectam em L sendo KL o eixo de projetividade, no caso dos feixes projectivos, tomamos os pontos a.b' e a'.b a definir a reta k e os pontos a.c' e a'.c a definir a reta l sendo k.l o centro da projetividade. Por este ponto k.l passará inevitavelmente m=(a.c')(a'.c). Assim:

[A.A.M.]

Esta dualização permitirá as demonstrações dos enunciados do teorema fundamental, qualquer delas por dualização da outra (como fizemos para a definição de eixo e centro de projetividade).

Uma projetividade entre feixes é uma composta de duas perspectividades entre feixes. Em que condições é que uma projetividade entre dois feixes é perspectividade?

Eixo de projetividade entre duas pontuais

Para cada projetividade entre pontuais de bases r e s distintas evidencia-se a reta que passa pelos pontos de cruzamento das retas AB' e A'B, AC' e A'C.
Se considerarmos mais um ponto X, essa reta passa também pelas intersecções de AX' e A'X, BC' e B'C, BX' e B'X, CX' e C'X.
À reta que verifica esta propriedade damos o nome de eixo da projetividade.

[A.A.M.]

Uma projetividade é uma composta de duas perspectividades. Em que condições é que uma projetividade entre duas pontuais é perspectividade?