Construímos dois conjuntos harmónicos um (AA,BB,CF) sobre r e outro (A'A',B'B', C'F') sobre s. Verificam-se as relações harmónicas H(AB,CF) e H(A'B',C'F'). A projetividade determinada por ABC e A'B'C', de que determinámos o eixo (AC'.A'C)(BC'.B'C), transforma F num outro ponto, seja F''. Para determinar este ponto sobre s traça-se, por exemplo, FB' e toma-se o ponto dessa reta que está no eixo, seja M. F'' será a interseção de BM' com s. Como as projetividades transformam conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos e o conjugado harmónico de C' é F' relativamente a A'B' e é único, forçosamente a projetividade que leva de A a A', B a B' e C a C' leva de F para F'. Ou seja F''=F'
Se H(AB,CF) e H(A'B',C'F'), a projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' obrigatoriamente transforma F em F'. O ponto que é imagem de si mesmo toma o nome de ponto duplo (F=F'=r.s)