Razões de diferenças. Razão cruzada.

Nas últimas entradas, associámos pontos de uma reta a números (suas abcissas) e estabelecemos construções (relações estabelecidas entre pontos e retas) que permitiram determinar pontos cujas abcissas eram resultados de operações sobre números, abcissas de pontos dados.
Para estas correspondências entre pontos de uma reta e números socorremo-nos sempre de alguns pontos particulares, depois de termos equipado a reta com uma dada orientação (sentido na reta).
De forma simples, se fizermos corresponder ao ponto A a abcissa a=x_A e a B a abcissa b=x_B, a orientação escolhida será de A para B se a distância euclideana em sentido direto entre A e B for x_B-x_A=|AB|. De resto escrevemos BA=-AB já que quando tomamos o sentido de A para B sobre a reta AB, AB=x_B -x_A= b-a=-(a-b)=-(x_A-x_B)=-BA. (segmentos orientados...)
A construção que se segue pretende ilustrar as considerações que antes fizemos, para além de introduzir a "razão de razões" ou "razão cruzada" que goza de propriedades interessantes intrínsecas e vinculando os seus valores a relações projetivas que se estabeleçam entre pontos e entre retas ou entre pontos e retas.
Tomam-se quatro pontos A, B, C, D sobre uma reta e define-se a razão das razões entre diferenças de abcissas. Pode deslocar os pontos para ver o que acontece às diferenças e às razões.
[A.A.M.]