Notas sobre a involução projetiva (unidimensional)

Há várias referências à palavra involução e definição de involução (formulada em termos dos conceitos não projetivos de distância e multiplicação aritmética) como uma relação entre pares de pontos de uma reta cujas distâncias a um ponto fixo têm produto constante (Desargues). Para exemplo, clique em Involução.
De um modo geral, designamos por involução qualquer transformação f que é inversa de si própria, i.e., tal que
∀x∈D_f, f(f(x)=x (ou f.f=id) de que é exemplo mais evidente a Reflexão entre as transformações geométricas do plano, para além da trivial identidade: id(x)=x. Lembre-se que o conjunto das reflexões munido da composição não é um grupo, mas que qualquer isometria do plano se pode obter como composta de reflexões.

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Interessa-nos agora uma definição de involução como transformação da geometria projetiva. Sem referência à palavra involução já foram usadas involuções na demonstração de teoremas da geometria projetiva do plano.
Por exemplo, considerámos as projetivades entre duas pontuais sobre uma mesma reta (que ficam definidas por 3 pares de pontos correspondentes).
Uma projetividade entre pontuais de uma reta r é uma involução se X→X' então X'→X ou XX'→X'X, ∀X. (von Staudt)
Prova-se que:
Se uma projetividade permuta dois pontos distintos é uma involução.
Sejam A e A', distintos, tais que, por uma dada projetividade, A é transformado em A' e A' é transformado em A AA'→A'A. E seja X um ponto qualquer de AA' que, pela mesma projetiviade, tem por imagem X'. Podemos escrever AA'X→A'AX' Como já provámos, quatro pontos colineares podem ser premutados aos pares por uma projetividade, ou seja, há uma projetividade para a qual AA'XX'→A'AX'X que permuta X com X' é a dada inicialmente, pois uma projetividade fica determinada quando são dados três pontos e os seus correspondentes (Teorema fundamental da Geometria Projetiva).
e, em consequência:
Uma inovução fica determinada por quaisquer dois dos seus pares de correspondentes
Quaisquer 4 pontos A, A', B, B' colineares determinam um projetividade AA'B→A'AB' que sabemos ser uma involução e que, de forma conveniente, representamos por (AA')(BB') ou (A'A)(BB') ou (BB')(AA'), etc notação que se mantém válida quando B'=B (B é um ponto duplo da involução). A projetividade determinada por AA'B→A'AB é uma involução que se representa por (AA')(BB).