Na construção abaixo há dois triângulos PQR e P'Q'R' perspetivos já que os lados correspondentes PP', QQ' e RR' incidem no ponto O. Será que os lados correspondentes se intersetam em pontos colineares? Como se vê na figura, D=RQ.R'Q', E=PR.P'R' e F=PQ.P'Q'. A figura sugere que são colineares. Serão?
Na construção, tomámos A=OP.DE, B=OQ.DE e C=OR.DE e, por isso OPAP' é perspetivo (por E) a ORCR' que, por sua vez, é perspetivo (por D) a OQBQ'. Assim podemos dizer que O é imagem de si mesmo pela projetividade entre as pontuais PAP' e QBQ' e, conforme já vimos antes, esta projetividade é uma perspetividade. O centro desta perspetividade só pode ser F e este está sobre AB que é DE. Assim D, E e F são colineares.
Acabamos de demonstrar que se dois triângulos são perspetivos em relação a um ponto são perspetivos em relação a uma reta.
[A.A.M.]
Alguns axiomas foram sendo referidos e, entre estes, referíamos o Teorema de Desargues como axioma e, a partir dele, demonstrávamos o dual.
Sem comentários:
Enviar um comentário