Lembramos que:
a) Uma polaridade é uma correlação projetiva que, se transforma um ponto A numa reta a', transforma a' em A: A polo de a', a' polar de A. b) Se A é um ponto de b e B, polo de b, é um ponto de a, polar de A, dizemos que A e B são pontos conjugados, e que a e b são retas conjugadas.
c) Um ponto A que incide na sua polar a' é conjugado de si mesmo (auto-conjugado). Dualmente, se uma reta a contem o seu polo, é conjugada de si mesma (auto-conjugada).
No artigo anterior, demonstrámos que Uma reta que passa por 2 pontos conjugados de si mesmos não pode ser conjugada de si mesma
e que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos conjugados de si mesmos.
Pode demonstrar-se também que
uma reta auto-conjugada contém um só ponto auto-conjugado.
Uma reta conjugada de si mesma contém o seu polo, que é auto-conjugado (conjugado de si mesmo). A existência sobre a reta auto-conjugada de outro ponto auto-conjugado é absurda já que haveria dois pontos diferentes associadas a uma mesma reta por uma correlação que associa a cada ponto uma só reta e a cada reta um só ponto.
Sejam dois pontos, X e Y, conjugados por uma polaridade sobre uma reta que não seja conjugada de si mesmo. Então há uma correspondência que associa a qualquer ponto de c, não autoconjugado, um outro ponto de c.
De facto, na reta c, não autoconjugada, a projetividade X→Y, em que Y=c.x, transforma qualquer não auto-conjugado ponto B num outro ponto A=b.c, cuja polar é BC=a. A mesma projetividade transforma A em B.
Um triângulo como ABC, em que cada vértice é o polo do seu lado oposto (ou em que quaisquer dois vértices são pontos conjugados, ou em quaisquer dois lados são retas conjugadas) é classificado como triângulo auto-polar
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