Correlação projetiva

Neste estudo de geometria projetiva, já considerámos correspondências relacionando um ponto com uma reta e uma reta com um ponto: por exemplo a correspondência elementar que relaciona uma pontual sobre r com um feixe de centro O, em que a pontual é a secção por r do feixe. A projetividade foi definida como uma composta destas correspondências elementares
A extensão deste conceito ao plano, consistirá numa transformação X→x' relacionando cada um dos pontos do plano com uma só reta do plano e a transformação dual x→X' que relaciona cada uma das retas do plano com um só ponto do plano:
∀X ∃¹x': X→x'
e, dualmente:
∀x ∃¹X': x→X'
Chamamos correlação a qualquer transformação do plano que a cada ponto faz corresponder uma reta e a cada reta faz corresponder um ponto presevando a relação de incidência em conformidade com o princípio da dualidade. De acordo com esta definição, a correlação transforma fileiras (ou pontuais) em feixes, feixes em fileiras, triláteros em trivértices, quadriláteros em quadrivértices, etc.
A correlação é um conceito autodual, a inversa de uma correlação é uma correlação e a composta (ou produto) de duas correlações é uma colineação.

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Uma correlação projetiva é a correlação que transforma cada forma unidimensional projetivamente, no sentido de que se um ponto Y sobre uma reta b é transformado numa reta y', esta tem de passar pelo ponto B', imagem de b.

Seguindo a construção acima, provamos que qualquer correlação que transforma uma pontual projetivamente é uma correlação projetiva
Seja a e A' a reta e o ponto correspondentes pela projetividade que relaciona uma pontual de pontos X e um feixe de retas x'. Precisamos de estabelecer a relação entre dois pares , b e B', pela mesma projetividade. Seja Y um ponto de b e O um ponto fixo não incidente em a nem em b. E tomámos a reta OY que interseta a em X. A correlação dada transforma o ponto O numa reta o' fixa que não incida em A' nem em B'. OY é transformada no ponto o'.y' que é ligado a A' pela reta x'. Y e X são perspetivos por O e x' é perpsetivo com y' pelo eixo o'.
Como X e x' estão relacioados por uma projetividade, temos Y→^OX→x'→^o'y' a correlação induz uma projetividade Y→y' entre b e B', como queríamos.

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Para obter o resultado dual para um feixe e a correspondente pontual temos de considerar a pontual de pontos Y em b como uma secção do feixe centrado em B' das retas y' .