Colineações projetivas. Triângulos.

Depois de apresentadas as transformações projetivas básicas (projetividades e perspetividades), referiremos e estudaremos algumas designações e propriedades de transformações projetivas particulares que vão ser utilizadas.

---

(a) Uma colineação é uma transformação (do plano no plano) de ponto a ponto ou de reta a reta que preserva a relação de incidência. Transforma pontuais em pontuais, feixes em feixes, quadriláteros em quadriláteros, etc.
As translações, rotações, reflexões, dilações são exemplos conhecidos de colineações.
(b) A inversa de uma colineação é uma colineação, a identidade é uma colineação e a composta (ou produto) de duas colineações é uma colineação.

---

---

Uma colineação projetiva transforma pontuais (e feixes) projetivamente no sentido de que, se transforma os pontos X de uma reta x em pontos X' de x', a relação entre X e X' é uma projetividade (bem como a relação entre x e x').

---

(c) Vejamos um exemplo de colineação projetiva

---

Sejam x e y as retas correspondentes por projetividade. A construção X> → Y dá um processo geral para definir uma projetividade entre os pontos de x e os pontos de y, partir de uma composta de perspetividades, com recurso a uma reta z auxiliar e centros O₁ e O₂ não incidentes em qualquer dessas retas. Pode deslocar X em x para verificar que
∀ X∈ x, ∃¹Y∈y: Y é obtido de X por projetividade.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Com recurso à projetividade que relaciona ponto a ponto as retas x e y, pudemos estabelecer ou construir uma relação biunívoca ente os pontos de outras duas quaisquer retas a e a' b e b', c e c', isto é, a projetividade entre x e y induz uma colineação entre dois triângulos (a,b,c) e (a',b',c') (ABC e A'B'C') . Tomámos dois pontos O e O' não incidentes em quaisquer das retas anteriormente consideradas. Seja P um ponto qualquer (variável) da reta a=BC. Determinamos P₁ sobre x, P₁=PO.x e pela projetividade entre x e y, determinamos o correspondente P₂ de P₁. Finalmente determinamos P' sobre a', P'=P₂O'.a'. Pode deslocar P sobre a para confirmar que P' se desloca sobre a', que quando P=B, P'=B', ... Do mesmo se procede para os pontos das retas b e c

em a=BC, P persp_O P₁ proj P₂ persp_O'P' em a'=B'C': P→P' por uma projetividade
em b=AC, Q persp_O Q₁ proj Q₂ persp_O'Q' em b'=A'C'
em c=AB, R persp_O R₁ proj R₂ persp_O'R' em b'=A'B' .
Concluindo: uma projetividade de x em y induz uma colineação como uma transformação f ponto a ponto e reta a reta que preserva a incidência transformando projetivamente um triângulo noutro:
∀ (l,l'), ∀ L∈ l., .∃¹L'∈l': f(L)=L'. Claro que f^-1(L')=L. Repare que A=AB.AC e A'=A'B'.A'C',… como é óbvio