Dividir um paralelogramo em dois trapézios equivalentes

Resolver problema de construção, usando composta de rotações (e meia volta)

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Problema:     O tesouro enterrado Um velho pergaminho, que descrevia o local onde piratas enterraram um tesouro numa ilha deserta, dava as seguintes instruções:

Na ilha só há duas árvores, $\;A\;$ e $\;B\;$, e os restos de uma forca.
Comece na forca e conte os passos necessários para ir, em linha recta, até à árvore $\;A\;$. Quando chegar à árvore, rode $\;90^o \;$ para a esquerda e avance o mesmo número de passos. No ponto em que parou, coloque um marco no chão.
Volte para a forca e vá em linha recta, contando os seus passos, até à árvore $\;B$. Quando chegar à árvore, rode $\;90^o\;$ para a direita e avance o mesmo número de passos, colocando outro marco no chão, no ponto em que acabar.
Cave no ponto que fica a meio caminho entre os dois marcos e encontrará o tesouro.

Um jovem aventureiro que encontrou o pergaminho com estas instruções, fretou um navio e viajou para a ilha. Não teve dificuldade em encontrar as duas árvores mas, para seu grande desgosto, a forca tinha desaparecido e o tempo tinha apagado todos os vestígios que pudessem indicar o lugar onde ficava.

Fractal music, hipercards and more, de Martin Gardner

Proposto na brochura Trigonometria e Números Complexos: matemática - 12º ano de escolaridade. Maria Cristina Loureiro... DES. Lisboa:2000 (pp. 65/66), com uma resolução usando números complexos.
Mariana Sacchetti lembrou-se deste problema que tem utilizado na lecionação dos complexos, como um exemplo de problema que poderia ser resolvido usando transformações geométricas.
É o que vamos fazer, considerando que resolver o problema é encontrar o tesouro sem termos a exata localização de vestígios da forca.

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A construção a seguir ilustra a resolução do problema, no caso mostrar que, qualquer que seja a posição da forca, seguir as instruções do pergaminho, conduz a uma única posição do tesouro. Com recurso exclusivo a propriedades das transformações geométricas.

1. São dados os pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ de localização das árvores
2. Conhecida a localização da forca, designemo-la por $\,F\;$, seguir as instruções seria percorrer $\;FA\;$, rodar sobre os calcanhares $\;90^o\;$ para a esquerda e fazer um percurso de comprimento gual a $\;FA\;$, local onde se coloca um marco, designemo-lo por $\;M\;$: $$\begin{matrix} &{\cal{R}} (A, \;-90^o)&&\\ F&\longmapsto&M&\\ &&&\;\;\; \mbox{e, do mesmo modo, para o outro marco,} \;N \\ &{\cal{R}} (B, \;+90^o)&&\\ F&\longmapsto&N&\\ \end{matrix}$$
   
   

   © geometrias, 10 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra

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   Clique no botão $\;\fbox{1}\;$ para seguir as instruções do pergaminho para uma localização da forca.
   
   
3. Não conhecendo a posição exata de $\;F\;$ tomamos um ponto qualquer, $\;F_1$, do chão da ilha para localização da forca. Designando por $\;M_1\;$ e $\;N_1\;$ as posições dos marcos a que chegamos, seguindo as instruções do pergaminho. Se $\;F_1\;$ fosse a localização exata da forca, no ponto médio $\;O\;$ de $\;M_1N_1\;$ valeria a pena cavar porque estaríamos a desenterrar o tesouro.
   É altura de fazer variar a posição de $\;F_1\;$ para observar o comportamento de $\;O\;$
4. Pela rotação de $\;-90^0\;$ em torno de $\;A\;$, $\;M_1\;$ é a imagem de $\;F_1\;$ e, em consequência, $\;F_1$ é imagem de $\;M_1\;$ pela rotação de $\;+90^0\;$ em torno de $\;A\;$. Podemos escrever: $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(A, \;+90^o)&&{\cal{R}}(B, \;+90^o)&\\ M_1&\mapsto & F_1 & \mapsto & N_1 \\ \end{matrix}$$ Ora, a composta de duas rotações $\;{\cal{R}}(B, \;+90^o)\circ {\cal{R}}(A, \;+90^o)\;$ é uma rotação:
   • o ângulo de rotação da composta é a soma dos ângulos das componentes, no caso $\;+90^o + 90^o =180^o$
   • o centro da rotação composta de rotações é um ponto equidistante de qualquer par de elementos relacionados pela composta, no caso $\;O\;$ : $\;OM_1 = ON_1$.
     De um modo geral, o centro da rotação composta determina-se como ponto de encontro das mediatrizes de dois pares de pontos por ela relacionados.
   Assim, se vê que as posições dos marcos $\;M\;$ e $\;N\;$ obtidas, para qualquer posição da forca $\;F\;$ de acordo com as instruções do pergaminho, estão relacionadas por uma transformação de meia volta. E o centro de uma rotação de meia volta é invariante, não dependendo da posição da forca.

O botão $\;\fbox{2}\;$ parte de outra localização da forca. Claro que bastará fazer variar uma posição de $\;F\;$.

Resolver problema de construção, usando meias voltas e translações

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Problema:     São dados cinco pontos $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$. Estes pontos são os pontos médios dos lados de um pentágono $\;PQRST\;$ desconhecido. Reconstruir o pentágono.
Este problema está referido no livro Simetrias e Transformações Geométricas de Eduardo Veloso (p.15) e já aqui foi citado, bem como o artigo Cinco pontos, um problema e cinco resoluções, publicado no número 79 da revista Educação e Matemática de Setembro/Outubro de 2004. Recomendamos a leitura do artigo que conta uma história e apresenta 5 resoluções. Na circunstância, chamamos a atenção para a resolução usando transformações de Maria Dedò.
O enunciado é o que José Paulo Viana propõe numa mensagem a Eduardo Veloso.
A construção a seguir ilustra essa resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando nos sucessivos botões 2, 3, ... acompanha os passos da resolução/demonstração(?).

1. Estão dados os pontos $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$ médios dos lados do pentágono de vértices $\;P, \;Q, \;R,\;S,\;T\;$ cujas posições desconhecemos e queremos construir.
2. Consideremos $\;A\;$ ponto médio de $\;PQ\;$, $\;B\;$ ponto médio de $\;QR\;$, $\;C\;$ ponto médio de $\;RS\;$, $\;D\;$ ponto médio de $\;ST\;$, $\;E\;$ ponto médio de $\;TP\;$.
   Sejam quais forem as posições de $\;P\;$ e de $\;Q\;$, sabemos que estão relacionados por uma transformação de meia volta centrada em $\;A\;$; $\;Q\;$ e $\;R\;$ estão relacionados por uma meia volta centrada em $\;B\;$ …
   Não sabendo a posição de $\;P\;$, tomemos $\;P_1\;$ para uma "falsa" posição de $\;P$artida. E $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(A, 180^o)&&{\cal{R}}(B, 180^o)&&{\cal{R}}(C, 180^o)&&{\cal{R}}(D, 180^o)&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\ P_1& \longmapsto& P_2 &\longmapsto&P_3&\longmapsto& P_4 &\longmapsto&P_5 & \longmapsto & P'_1\\ \end{matrix}$$




© geometrias, 1 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra

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3. Fácil é verificar que a composta de duas meias voltas é uma translação: $$\forall P_1, \;\;\left({\cal{R}}(B, 180^o) \circ {\cal{R}}(A, 180^o)\right) (P_1)={\cal{R}}(B, 180^o)\left( {\cal{R}}(A, 180^o ) (P_1)\right)={\cal{R}}(B, 180^o) (P_2) = P_3$$ $${\cal{R}}(B, 180^o) \circ {\cal{R}}(A, 180^o) = {\cal{T}}_{2\overrightarrow{AB}}: \;\;\;\; P_1 \longmapsto P_3$$ Do mesmo modo, $${\cal{R}}(C, 180^o) \circ {\cal{R}}(D, 180^o) = {\cal{T}}_{2\overrightarrow{CD}}: \;\;\;\; P_3 \longmapsto P_5$$ A composta das duas translações é uma translação. Assim: $${\cal{T}}_{2\overrightarrow{CD}} \circ {\cal{T}}_{2\overrightarrow{AB}} = {\cal{T}}_{2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})} : \;\;\; P_1 \longmapsto P_5$$ que é o mesmo que dizer que as quatro primeiras meias voltas são equivalentes a uma translação.
4. Se a composta de duas meias voltas é uma translação, a composta de uma translação com uma meia volta é uma meia volta: $$\begin{matrix} &{\cal{T}}_{2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})}&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\ P_1 & \longmapsto & P_5 & \longmapsto & P'_1 \end{matrix}$$ Se $\;P_1\;$ fosse a posição verdadeira de $\;P\;$, então seria $\;P_2 \equiv Q, \; \;P_3 \equiv R, \;\;P_4 \equiv S, \;\;P_5 \equiv T, \; \;\;\;P'_1 \equiv P$.
   Para a meia volta que a $\;P_1 \;$ faz corresponder $\;P'_1\;$ tem um ponto invariante, o centro da meia volta que é o ponto médio de todos os segmentos $P_1P'_1$ em que $\;P_1\;$ é um ponto qualquer de $\;P'_1\;$ é o seu correspondente por cinco meias voltas sucessivas: de centros $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$.
   É esse ponto médio de todos os $\;P_1P'_1\;$ que tomamos para $\;P\;$
   Variando as posições de $\;P_1\;$, podemos constatar que a posição de $\;P\;$ fica invariante.
5. Finalmente, pode constatar que a sucessão de meias voltas de centros $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$ permite determinar os vértices $\;Q, \;R, \;S, \;T\;$ sendo $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(A, 180^o)&&{\cal{R}}(B, 180^o)&&{\cal{R}}(C, 180^o)&&{\cal{R}}(D, 180^o)&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\ P& \longmapsto & Q & \longmapsto &R &\longmapsto & S& \longmapsto &T&\longmapsto& P\\ \end{matrix}$$

Pode variar as posições de $\;A, \;B,\;C,\;D, \;E\;$ e de $\;P_1\;$.

Resolver um problema de construção usando a meia volta

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Problema:     Dadas duas circunferências $\;c_1\;$ e $\;c_2\;$ e um ponto $\;M\;$ determinar um ponto $\;P_1\;$ de $\;c_1\;$ e um ponto $\;P2\;$ de $\;c_2\;$ para os quais $\;M\;$ é o ponto médio de $\;P_1P_2\;$
Este problema está proposto no livro Simetrias e Transformações Geométricas de Eduardo Veloso (p.15).
O autor recomenda que

• se comece por procurar o lugar geométrico dos pontos $\;B\;$ quando $\;A\;$ percorre $\;c_1\;$ sendo $\;AM=BM\;$, e
• se investigue para que posições de $\;M\;$ há soluções ou não, uma, duas ou infinitas soluções do problema

A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando no botão Resolução pode ver a solução do problema.

© geometrias, 29 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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1. São dados um ponto $\;M\;$ e duas circunferências $\;c_1 = (O_1), \;c_2=(O_2)\;$
   
2. Se $\;A, \;M, \; B\;$ são colineares e $\;\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\;$, $\;A\;$ e $\;B\;$ são correspondentes por uma transformação de meia volta de centro em $\;M\;$, (ou $\;{\cal{R}}(M, 180^o)\;$ ou $\;{\cal{H}}(M, -1)\;$.
   Por isso, quando $\;A\;$ percorre $\;c_1\;$, $\;B\;$ percorre uma circunferência $\;c'_1\;$ que é imagem de $\;(c_1\;$ pela meia volta de centro em $\;M\;$
3. No nosso caso, a posição de $\;M\;$ relativamente às circunferências $\;c_1, \;c_2$ é tal que $\;c'_1 . c_2 = \{ P_2,\; Q_2\}\;$. A reta $\;P_2M\;$ interseta $\;c_1\;$ em dois pontos, sendo um deles $\;P_1\;$ o correspondente original de $\;P_2\;$ pela meia volta de centro $\;M\;$: $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(M, 180^o)& &\\ c_1&\longrightarrow &c'_1& \\ &&&\;\;\;c'_1.c_2 =\{P_2, \;Q_2\}\\ P_1& \longleftarrow & P_2& \;\;\;(P_1,\;P_2) \in c_1 \times c_2 \; \mbox{ é uma solução}\\ Q_1& \longleftarrow& Q_2& \;\;\;(Q_1,\;Q_2) \in c_1 \times c_2 \; \mbox{ é outra solução}\\ \end{matrix}$$

Pode variar a posição de $\;M\;$ e das circunferências $\;c_1, \;c_2$

Resolver problema de construção usando transformação de meia volta

Problema:    Num dado quadrilátero de vértices $\;A,\;B, \;C, \;D\;$ inscrever um paralelogramo de centro num ponto $\;O\;$ dado.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 1 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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Deslocando o cursor $\fbox{n=1, ..., 4}$  (direita ao fundo) pode ver os passos da resolução.

1. São dados 5 pontos $\;A,\;B, \;C, \;D, \;O$
2. Os quatro vértices $\;A,\;B, \;C, \;D \;$ definem quatro retas $\;AB=a, \;BC=b, \;CD=c, \;DA=d\;$. Assinalam-se os quatro segmentos dessas retas: $\;AB, \;BC, \;CD, \;DA\;$ lados.
3. Na nossa resolução recorremos a uma meia volta de centro em $\;O$.  Por essa meia volta, cada uma das retas tem por correspondente uma reta paralela $\;a \parallel a', \; b\parallel b', ...\;$, sendo contrários os sentidos de $\,AB\;$ e $\;A'B'\;$, etc. segmentos assinalados a tracejado e com as cores dos seus correspondentes pela meia volta. $$\begin{matrix} & {\cal{R}}(O, 180^o) & & \\ a & \longrightarrow & a'&\;\;\; a\parallel a'\\ b & \longrightarrow & b'& \;\;\;b\parallel b'\\ c & \longrightarrow & c'& \;\;\;c\parallel c'\\ d & \longrightarrow & d'&\;\;\; d\parallel d'\\ a.b = B & \longmapsto & a'.b'=B' & \;\;\;O\in BB' \wedge BO=OB'\\ b.c = C & \longmapsto & b'.c'=C' &\;\;\; O\in CC'' \wedge CO=OC'\\ c.d = D & \longmapsto & c'.d'=D' &\;\;\; O\in DD' \wedge DO=OD'\\ d.a = A & \longmapsto & d'.a'=A' &\;\;\; O\in AA' \wedge AO=OA'\\ \end{matrix}$$
4. Tomamos E=a.c' , F=b.d', G=a'.c, H=b'.d $$\begin{matrix} & {\cal{R}}(O, 180^o) & & \\ a & \longrightarrow & a'&\;\;\; a\parallel a'\\ b & \longrightarrow & b'& \;\;\;b\parallel b'\\ c & \longrightarrow & c'& \;\;\;c\parallel c'\\ d & \longrightarrow & d'&\;\;\; d\parallel d'\\ E= a'.c &\longmapsto& a.c'=G & \;\;\; O\in EG \wedge EO=OG\\ F= b.d' &\longmapsto& b'.d=H & \;\;\; O\in FH \wedge FO=OH\\ \end{matrix}$$ O quadrilátero $EFGH$ tem diagonais $EG$ e $FH$ que se intersetam e bissetam em $O$. É, por isso, um paralelogramo de centro $\;O\;$ inscrito no quadrilátero de vértices $\;ABCD$: $\;\;\;\;E\in a, \;F\in b, \;G \in c, \;H \in d$