GEOMETRIA : centro da meia volta.

1.6.14

Resolver problema de construção, usando meias voltas e translações

Problema: São dados cinco pontos $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$. Estes pontos são os pontos médios dos lados de um pentágono $\;PQRST\;$ desconhecido. Reconstruir o pentágono.
Este problema está referido no livro Simetrias e Transformações Geométricas de Eduardo Veloso (p.15) e já aqui foi citado, bem como o artigo Cinco pontos, um problema e cinco resoluções, publicado no número 79 da revista Educação e Matemática de Setembro/Outubro de 2004. Recomendamos a leitura do artigo que conta uma história e apresenta 5 resoluções. Na circunstância, chamamos a atenção para a resolução usando transformações de Maria Dedò.
O enunciado é o que José Paulo Viana propõe numa mensagem a Eduardo Veloso.
A construção a seguir ilustra essa resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando nos sucessivos botões 2, 3, ... acompanha os passos da resolução/demonstração(?).

Estão dados os pontos $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$ médios dos lados do pentágono de vértices $\;P, \;Q, \;R,\;S,\;T\;$ cujas posições desconhecemos e queremos construir.
Consideremos $\;A\;$ ponto médio de $\;PQ\;$, $\;B\;$ ponto médio de $\;QR\;$, $\;C\;$ ponto médio de $\;RS\;$, $\;D\;$ ponto médio de $\;ST\;$, $\;E\;$ ponto médio de $\;TP\;$.
Sejam quais forem as posições de $\;P\;$ e de $\;Q\;$, sabemos que estão relacionados por uma transformação de meia volta centrada em $\;A\;$; $\;Q\;$ e $\;R\;$ estão relacionados por uma meia volta centrada em $\;B\;$ …
Não sabendo a posição de $\;P\;$, tomemos $\;P_1\;$ para uma "falsa" posição de $\;P$artida. E $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(A, 180^o)&&{\cal{R}}(B, 180^o)&&{\cal{R}}(C, 180^o)&&{\cal{R}}(D, 180^o)&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\ P_1& \longmapsto& P_2 &\longmapsto&P_3&\longmapsto& P_4 &\longmapsto&P_5 & \longmapsto & P'_1\\ \end{matrix}$$

Fácil é verificar que a composta de duas meias voltas é uma translação: $$\forall P_1, \;\;\left({\cal{R}}(B, 180^o) \circ {\cal{R}}(A, 180^o)\right) (P_1)={\cal{R}}(B, 180^o)\left( {\cal{R}}(A, 180^o ) (P_1)\right)={\cal{R}}(B, 180^o) (P_2) = P_3 $$ $$ {\cal{R}}(B, 180^o) \circ {\cal{R}}(A, 180^o) = {\cal{T}}_{2\overrightarrow{AB}}: \;\;\;\; P_1 \longmapsto P_3$$ Do mesmo modo, $$ {\cal{R}}(C, 180^o) \circ {\cal{R}}(D, 180^o) = {\cal{T}}_{2\overrightarrow{CD}}: \;\;\;\; P_3 \longmapsto P_5$$ A composta das duas translações é uma translação. Assim: $${\cal{T}}_{2\overrightarrow{CD}} \circ {\cal{T}}_{2\overrightarrow{AB}} = {\cal{T}}_{2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})} : \;\;\; P_1 \longmapsto P_5 $$ que é o mesmo que dizer que as quatro primeiras meias voltas são equivalentes a uma translação.
Se a composta de duas meias voltas é uma translação, a composta de uma translação com uma meia volta é uma meia volta: $$\begin{matrix} &{\cal{T}}_{2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})}&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\ P_1 & \longmapsto & P_5 & \longmapsto & P'_1 \end{matrix}$$ Se $\;P_1\;$ fosse a posição verdadeira de $\;P\;$, então seria $\;P_2 \equiv Q, \; \;P_3 \equiv R, \;\;P_4 \equiv S, \;\;P_5 \equiv T, \; \;\;\;P'_1 \equiv P$.
Para a meia volta que a $\;P_1 \;$ faz corresponder $\;P'_1\;$ tem um ponto invariante, o centro da meia volta que é o ponto médio de todos os segmentos $P_1P'_1$ em que $\;P_1\;$ é um ponto qualquer de $\;P'_1\;$ é o seu correspondente por cinco meias voltas sucessivas: de centros $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$.
É esse ponto médio de todos os $\;P_1P'_1\;$ que tomamos para $\;P\;$
Variando as posições de $\;P_1\;$, podemos constatar que a posição de $\;P\;$ fica invariante.
Finalmente, pode constatar que a sucessão de meias voltas de centros $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E$ permite determinar os vértices $\;Q, \;R, \;S, \;T\;$ sendo $$\begin{matrix} &{\cal{R}}(A, 180^o)&&{\cal{R}}(B, 180^o)&&{\cal{R}}(C, 180^o)&&{\cal{R}}(D, 180^o)&&{\cal{R}}(E, 180^o)&\\ P& \longmapsto & Q & \longmapsto &R &\longmapsto & S& \longmapsto &T&\longmapsto& P\\ \end{matrix}$$

Pode variar as posições de $\;A, \;B,\;C,\;D, \;E\;$ e de $\;P_1\;$.