GEOMETRIA : fevereiro 2016

25.2.16

Construir circunferências centradas nos vértices de um triângulo e tangentes duas a duas.

Problema:
É dado um triângulo $\;ABC.\;$ Determinar as 3 circunferências $\;(A,\; r_A), \; (B,\: r_B), \; (C,\; r_C)\;$ tangentes exterioremnte duas a duas.

A figura dinâmica que se apresenta a seguir ilustra o raciocínio (de análise) que suporta a construção e a construção ela mesma.Faça variar o valor de

$\;n\;$ no seletor ao fundo da janela de construção.
Começamos por construir o triângulo de vértices

$\;A,\;B,\;C\;$ e de lados

$\;a=BC, \;b= AC, \; c=AB\;$ . Circunferências centradas em

$\;A\;$ e

$\;B\;$ que sejam tangentes exteriormente têm raios

$\;r_A,\;r_B\;$ tais que

$\; r_A + r_B = AB = c.\;$ Pelas mesmas razões terá de ser

$\; r_A + r_C = AC = b\;$ e

$\; r_B + r_C = BC = a.\;$ Por isso,

$\; 2r_A + 2r_B + 2r_C =a+b+c.\;$
Tomando um segmento

$\;B'B''\;$ de comprimento igual ao perímetro

$\;a+b+c\;$ do triângulo e o ponto

$\;M\;$ médio de

$\;B'B''\;$ , sabemos agora que

$\;B'M= r_A + r_B + r_C\;$ e, como

$\;r_B + r_C = a, \; \; C'M = B'M-a = r_A.$
Conhecido

$\;r_A\;$ , podemos traçar

$\;(A, \; r_A).\;$ que intersecta

$\;AB \;$ e

$\;AC\;$ nos seus pontos de tangência com as outras duas circunferências □

159. Des sommets d'un triangle ABC comme centres, décrire trois circunféences tangentes deux à deux éxterieurement.l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

16.2.16

Secantes a uma circunferência passando por um ponto exterior e que determinam cordas de comprimento dado

Problema:
São dados um ponto $\;P,\;Q\;$ um círculo $\;c\;$ e um comprimento $\;a\;$
Traçar por $\;P\;$ uma secante à circunferência $\;c\;$ que a corte em cordas de comprimento $\;a\;$

©geometrias. 16 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

As cordas da circunferência

$\;c\;$ com um dado comprimento

$\;a\;$ são tangentes a uma circunferência concêntrica com

$\;c\;$ . Tomando um ponto

$\;F\;$ qualquer sobre

$\;c\;$ e

$\;G \in c:\; FG=a,\;$ essa circunferência fica determinada pelo centro

$\;O\;$ e pelo ponto

$\;H\;$ médio de

$\;FG.\;$ As tangentes a

$\;(O, OH)\;$ tiradas por

$\;P\;$ determinam cordas de

$\;c: \;$

$\;LM,\;NQ;$ e

$\;LM=NQ=a\;$

149. On donne un cercle et un point P. Mener par P une sécante telle que la corde interceptée ait une longueur donné l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

14.2.16

Numa circunferência inscrever um triângulo retângulo

Problema:
São dados dois pontos $\;P,\;Q\;$ e uma circunferência $\;(O)\;$
Inscrever na circunferência $\;(O)\;$ um triângulo retângulo tal que a reta de um cateto passe $\;P\;$ e a reta do outro cateto passe por $\;Q.\;$

©geometrias. 14 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problema fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

Se um dos lados de um ângulo reto tem de passar por

$\;P\;$ e outro por

$\;Q\;$ então o seu vértice será um ponto da circunferência de diâmetro

$\;PQ.\;$ Como o ângulo reto tem vértice sobre a circunferência

$\;(O)\;$ este é um dos pontos da interseção das duas circunferências citadas - a que chamamos

$\;A\;$ . Os restantes vértices serão

$\;B\;$ na interseção de

$\;(O)\;$ com

$\;AP\;$ e

$\;C\;$ na interseção de

$\;(O)\;$ com

$\;AQ.\;$
No caso da nossa figura, o problema tem duas soluções.

148. Inscrire dans un cercle un triangle rectangle dont les cotês de l'angle droit ou leurs prolongements passent par deux points donnés P et Q
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

11.2.16

Circunferência por 2 pontos com tangentes iguais tiradas por 2 ponto distintos

Problema:
São dados quatro pontos $\;A,\;B,\;C,\;D.\;$
Construir a circunferência que passa por $\;A,\;B\;$ e cujas tangentes tiradas por $\;C\;$ e por $\;D\;$ têm o mesmo comprimento.

©geometrias. 10 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor centrado e no fundo da janela de visualização.

Este é mais um dos problemas que se resolve, analisando-o como se o tivessemos resolvido. Claro que, como temos dois pontos

$\;A, \;B\;$ da circunferência-solução, sabemos que o seu centro

$\;O\;$ é um ponto equidistante de

$\;A\;$ e de

$\;B\;$ .
Também sabemos que

$\;CH =DG\;$ se H for o ponto de tangência da tangente tirada por

$\;C\;$ e

$\;G\;$ for o ponto de tangência da tangente à circunferência tirada por

$\;D\;$ e sabemos que

$\;OG=OH\;$ (raios) e que

$\;OG \perp GD\;$ e

$\;OH \perp HC.\;$ . E, em consequência, serão iguais os triângulos

$\;[CHO]\;$ retângulo em

$\;H\;$ e

$\;[DGO]\;$ retângulo em

$\;G\;$ . Assim sendo, serão iguais as hipotenusas

$\;OC = OD\;$ . Ou seja

$\;O\;$ é um ponto equidistante dos pontos dados,

$\;C\;$ e

$\;D\;$ , da mediatriz de

$\;CD\;$
Deste modo,

$\;O\;$ fica determinado como interseção das mediatrizes de

$\;AB\;$ e de

$\;CD\;$ e a circunferência requerida tem este centro

$\;O\;$ e passa por

$\;A\;$

147. On donne quatre points A, B, C, D. Construire un cercle passant par A et B et tel que les tangentes issues de C et D soient égales.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947 >

7.2.16

Circunferência tangente a duas retas paralelas e que passa por um ponto da faixa entre elas

Problema:
São dadas duas retas paralelas $\;a, \;b\;$ e um ponto $\;P\;$ da faixa entre elas.
Construir uma circunferência tangente às retas $\;a, \; b\;$ e a passar pelo ponto $\;P.\;$

©geometrias. 7 fevereiro 2016, Criado com GeoGebra

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor na esquerda baixa da janela de visualização.

Uma circunferência tangente a duas paralelas

$\;a, \;b\;$ tem o seu centro numa terceira paralela

$\;m\;$ equidistante das duas dadas e raio igual a

$\;r\;$ - distância de

$\;m\;$ a

$\;a .\;$ Se passa por

$\;P\;$ , o centro da circunferência estará numa circunferência centrada em

$\;P\;$ e raio

$\;r.\;$ O problema tem duas soluções

$\;(O), \;(O')$ .
Nas condições do nosso problema há sempre duas soluções. Se

$\;P\;$ fosse um ponto de uma das paralelas

$\;a\;$ ou

$\,b\;$ o problema teria uma só solução e se estivesse fora da faixa entre as paralelas, não haveria circunferência alguma tangente às duas paralelas.

155. Étant donnés deus droîtes parallèles X, Y et un point A situé entre elles, décrire un cercle passant par ce point et tangente aux deux droîtes
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

4.2.16

Circunferência tangente a outra e a uma reta num dado ponto.

Problema:
É dada uma uma reta $\;t\;$ tangente em $\;T\;$ a uma circunferência $\;c\;$ dada. É ainda dado um outro ponto $\;A\;$ dessa tangente $\;t.\;$
Construir uma circunferência tangente à circunferência $\;c\;$ e à reta $\;t \;$ no ponto $\;A.\;$

Pode acompanhar a construção da resolução do problemas fazendo variar os valores de n no seletor na direita baixa da janela de visuaização.

Na figura correspondente ao problema resolvido. tem-se uma circunferência

$\;(O')\;$ em que

$\;O'\;$ é o quarto vértice de um trapézio retângulo

$\;[OTAO']\;$ . Como

$\;t\,$ é tangente comum à duas circunferências exteriormente: a

$\;c =(O)\;$ em

$\;T\;$ e em

$\;A\;$ . Como o os segmentos das tangentes a uma circunferência tiradas por um ponto são iguais, a tangente exterior a

$\;c\;$ tirada pelo ponto

$\;M\;$ médio de

$\;AT\;$ resolve o problema já que permite determinar o ponto de tangência

$\;I\;$ comum às duas circunferências.

$\;TI\;$ é perpendicular a

$\;OM\;$ e

$\;OI\;$ interseta a perpendicular a

$\;t\;$ em

$\;A\;$ em

$\;O'\;$ , centro da circunferência que procuramos:

$\;MT=MI=MA\;$ e

$\; IO'=O'A .\;$

154. On donne un cercle C, une tangente T à ce cercle au point A et sur cette droîte un point A'. Construire un cercle tangent au cercle C, et à la droîte T au point A'.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

3.2.16

Circunferência tangente a três retas sendo duas delas paralelas

Problema:
São dadas três retas $\;r,\;s,\;t\;$ sendo duas delas paralelas $\;r \parallel s\;$
Construir uma circunferência que seja tangente às três retas $\;r, \;s,\;t. \;$

Uma circunferência tangente a três retas

$\;r, \;s, \;t\;$ tem centro

$\;O\,$ equidistante das três

$\;d(r,O)= d(s, O) = d(t,O)\;$ . Por isso

$\;O\;$ é ponto de interseção de bissetriz do ângulo

$\;\angle (\widehat{r, \;t})\;$ com bissetriz do ângulo

$\;\angle (\widehat{s, \;t}).\;$
O problema tem duas soluções

$\; (O)\;$ e

$\;(O').\;$

153. On donne trois droîtes X, Y et Z dont les deux prémières sont parallèles. Construire les cerces tangents à ces trois droîtes.
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Livbrairie Vuibert. Paris:1947