GEOMETRIA

23.10.13

Teorema de Feuerbach (enunciado e demonstração)

Dados 3 pontos $A_1, A_2, A_3$ não colineares, há quatro circunferências tangentes às retas $A_1A_2$, $A_2A_3$ e $A_3A_1$: a de centro $I$ (incentro) a que chamamos inscrita e outras de exincentros $I_i$ a que chamamos exinscritas.

O enunciado do Teorema de Feuerbach é:
A circunferência de nove pontos é tangente às quatro circunferências inscrita e exinscritas
Com recurso à inversão, vamos demonstrar este resultado. A nossa construção parte do triângulo $A_1A_2A_3$, do qual construímos o circuncírculo e a circunferência de nove pontos (tal como fizemos na entrada anterior com notas sobre a circunferência de nove pontos).

Arsélio Martins, 22 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Com os botões de navegação ao fundo da janela de visualização, pode seguir os passos da construção, fixando cada parte que lhe interesse.

Demonstração.:

Debruçamo-nos sobre o triângulo $A_1A_2A_3$, a circunferência $(I)$ nele inscrita e a exinscrita $(I_1)$ (de centros $I$ e $I_1$ sobre a bissetriz interior $A_11 I$). Os resultados para as restantes $(I_2)$ e $(I_3)$ serão obtidos de modo análogo.
- Tomemos as quatro tangentes a estas duas circunferências $(I)$ e $(I_1)$ que determinam duas homotetias de uma na outra: por um lado, a homotetia de centro $A_1$ definida pelas duas tangentes exteriores $A_1A_2$ e $A_1A_3$; por outro a homotetia de centro $K$ na interseção de $II_1$ com $A_2A_3$,já que esta última é tangente interior comum a $(I)$ e $(I_1)$.
- $A_2A_3$ e $XX_1$ têm o mesmo ponto médio (ver a entrada em que esse resultado é abordado.
- Do triângulo $A_1KA_3$ e do triângulo retângulo $IA_3 I_1$, considerando segmentos orientados, retiramos que $(A_1K;II_1) =-1$ (ver inversão de círculos de apolónio). Como $H_1, X, X_1$ são os pés das perpendiculares a $A_2A_3$, tiradas por $A_1, I, I_1$ e a projeção preserva a razão dupla, então $(H_1K; XX_1)=-1$, ou $$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{H_1X}{XK}}{\displaystyle\frac{H_1X_1}{X_1K}} =-1$$ Considerando comprimentos dos segmentos: $$\frac{H_1X}{XK}= \frac{H_1X_1}{X_1K}$$ e, como $H_1X=H_1M_1-M_1X, \; H_1X_1=H_1M_1+M_1X_1 , \;XK=XM_1-M_1K , \; X_1K=X_1M_1+M_1K$, podemos escrever $$\frac{H_1M_1-M_1X}{XM_1-M_1K}= \frac{H_1M_1+M_1X_1}{X_1M_1+M_1K}$$ equivalente a $$(H_1M_1-M_1X) \times (X_1M_1+M_1K)= (XM_1-M_1K)\times (H_1M_1+M_1X_1)$$ que desenvolvendo fica $$\;\;\;H_1M_1\times X_1M_1 +H_1M_1\times M_1K - XM_1\times X_1 M_1 - M_1X\times M_1K =$$ $$= XM_1\times H_1 +XM_1\times M_1X_1-M_1K\times H_1M_1 - M_1K\times M_1X_1$$ e, por ser $M_1 X=M_1X_1$, se simplifica em $$2H_1M_1 \times M_1K = 2MX^2$$ $$M_1K \times M_1H_1=M_1X^2=M_1X_1^2$$
Tomemos agora a circunferência de centro em $M_1$ e raio $M_1X_1$ para circunferência de inversão.
- O resultado anterior é prova de que $H_1$ é o correspondente de $K$ pela inversão $I(M_1, M_1X^2)$
- Os círculos $(I)$ e $(I_1)$ invertem-se em si mesmos já que são ortogonais à circunferência de inversão: $I_1X_1$, raio de $(I_1)$, é tangente a $(M_1)$ e perpendicular ao seu raio $M_1X_1$ que é tangente a $(I_1)$.
- Como a circunferência dos nove pontos $(N)$ passa por $M_1$, centro da inversão, tem para inversa um reta $(N)'$ que passa por $K$ (inverso de $H_1$ que é ponto de $(N)$) e é paralela à tangente a $(N)$ no ponto $M_1$.
A inversa de $(N)$ contém uma corda comum a $(M_1)$ e a $(N)$, logo perpendicular a $M_1N$, paralela a $H_2H_3$.
$H_2$ é um ponto da circunferência de diâmetro $A_2A_3$ (centro em $M_1$) já que $A_2H_2 \perp H_2A_3$. $H_3$ pertence à mesma circunferência de diâmetro $A_2A_3$, já que $A_3H_3 \perp H_3A_2$.
- Quer dizer que $H_2, H_3, A_2, A_3$ estão sobre uma circunferência (concícliicos), sendo por isso $\angle A_1A_2A_3+ \angle H_3H_2A_3 =180^o$ e $\angle A_1A_3A_2+ \angle A_2H_3H_2 = 180^o$, situação que se mantém para qualquer reta paralela a $H_2H_3$
- Ora $(N)'$ é paralela à tangente a $N$ em $M_1$ e paralela a $H_2H_3$, tal como é a reta tangente a $(I)$ tirada por $K$. E por $K$ só passa uma paralela a $H_2H_3$.
- A inversa de $(N)$, $(N)'$, é, pois, a tangente a $(I)$ e a $(I_1)$ tirada por $K$, ou seja, $EF$,
Como $EF$ é tangente a $(I)$ e $(I_1)$, inversas de si mesmas por $I(M_1, M_1X^2)$, e $(N)$, inversa de $EF$, também é tangente a $(I)$ e $(I_1)$ (cada uma inversa de si mesma). $\hspace{1cm} \square$

11.10.13

Teorema de Feuerbach (nota sobre a circunferência de 9 pontos)

A circunferência de nove pontos (ou de Feuerbach) foi referida neste "lugar geométrico" muitas vezes. Antes da demonstração propriamente dita do chamado Teorema de Feuerbach (usando a inversão geométrica), estudamos a existência e unicidade (?) de tal circunferência para cada trângulo.

Circunferência de 9 pontos, Euler ou Feuerbach

Para um triângulo qualquer, de vértices $A_i$ tomam-se os seguintes pontos: $M_i$,médios dos lados; $H_i$, pés das alturas; $E_i$, pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e cada vértice. Prova-se que estes 9 pontos estão sobre uma circunferência de raio igual a metade do circunraio e centro no ponto médio entre circuncentro e ortocentro.

A.Martins, 10 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Demonstração.:

- Porque o triângulo $ A_2 H_3 S_3 $ é retângulo em $H_3$ e $A_2 H_1 A_1$ é retângulo em $H_1$, são iguais os ângulos $\angle A_2 A_3 S_3$ e $\angle A_2 A_1 S_1$ por serem complementares de $A_1A_2A_3$. E, por estarem inscritos no mesmo arco $A_2 S_1$, são iguais os ângulos $\angle A_1 A_2 S_1$ e $\angle A_2 A_3 S_1$ : $$\angle A_2 A_3 S_3 =\angle A_2 A_1 S_1= \angle A_2 A_3 S_1$$
- Assim, são congruentes os triângulos retângulos em $H_1$ $H H_1 A_3$ e $S_1 H_1 A_3$ e, em consequência, $H_1$ é o ponto médio de $H S_1$
- Do mesmo modo, se pode concluir que $H_2$ é o ponto médio de $H S_2$ e $H_3$ é o ponto médio de $H S_3$
- Consideremos agora o circundiâmetro $A_1 T_1$: $T_1 A_3 \parallel A_2 H $ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_3$ e $A_3 H \parallel T_1 A_2$ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_2$.
- Por isso, $H A_2 T_1 A_3$ é um paralelogramo cujas diagonais $HT_1$ e $A_2 A_3$ se bissetam. E o ponto $M_1$, médio de $A_ 2 A_3$, é também o ponto médio de $H T_1$
- Do mesmo modo, se concluiria que $M_2$, médio de $A_ 1 A_3$, é também o ponto médio de $H T_2$ e que $M_3$, médio de $A_ 1 A_2$, é também o ponto médio de $H T_1$
- A homotetia de centro $H$ e razão $1 \over 2$ transforma a circunferência azul na circunferência vermelha, já que a cada um dos 3 pontos $S_i$ corresponde um dos pontos $H_i$ (por 1.) e também a cada um dos pontos $T_i$ corresponde um dos pontos $M_i$ (por 2.)
- Cada vértice $A_i$ do triãngulo e da circunferência azul circunscrita, pela mesma homotetia, tem correspondente $E_i$ incidente na circunferência vermelha e em $H A_i$. Porque a razão da homotetia é $1 \over 2$, cada $E_i$ é ponto médio de $H A_i$
- Para concluir: pela mesma homotetia, o centro $O$ é transformado num ponto $N$ (centro da homotética vermelha) incidente em $HO$ e seu ponto médio.

Ficou assim provado que para um triângulo qualquer, há uma circunferência que passa pelos 3 pontos médios dos lados, pelos 3 pés das alturas, e pelos 3 pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e os respetivos vértices.
Esta circunferência é nomeada por circunferência dos 9 pontos (pelos anglófonos :-), de Euler (pelos francófonos :-) ou de Feuerbach (pelos germanófonos :-)

9.10.13

Determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.

Levando em conta as duas últimas entradas, vamos determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências $(O)$ e $(P)$ tangentes em $T$. Tomamos o eixo radical (a negro) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a $OP$ tirada por $T$ que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto $T$. E sobre o eixo radical, tomamos um ponto $M$ qualquer. E determinamos, como feito na entrada de 7 de Outubro as circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$ dadas.
Como se vê na figura abaixo, essas duas circunferências, determinadas com recurso à inversão $I(T, TM^2)$, em comum têm dois pontos, para além de $M$, $M'$, variando este quando $M$ se desloca sobre o eixo radical.
Vamos determinar o lugar geométrico dos pontos $M'$ quando $M$ percorre o eixo radical.

As duas circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$: uma delas (verde) é tangente a $(O)$ em $A$ e tangente a $P$ em $A'$; a outra (azul topázio) é tangente a $(O)$ em $B$ e a $(P)$ em $B'$. Referindo-nos aos resultados da entrada de 7 de Outubro p.p. sobre Inversão e Homotetia, sabemos que $AA'$ e $BB'$ passam pelo centro comum de homotetias várias definidas por pares de circunferências homotéticas tangentes duas a duas: uma (direta) que transforma $(O)$ em $(P)$ e outras, as que transformam $(P)$ na circunferência verde (tangente), ou $(O)$ na circunferência azul topázio (tangente)...
Como vimos então $A$ e $A'$ são tais que $$HA \times HA'= HT^2$$ Pela mesma razão, sendo $M'$ o segundo ponto de interseção de $HM$ com a circunferência verde (ou com a azul topázio), $M$ e $M'$ são tais que $$HM \times HM' = HT^2$$ Assim, uma circunferência que passe por $M$ e $M'$ e seja tangente a uma das $(O)$ ou $(P)$ é tangente à outra. $M'$ é o segundo ponto de interseção das circunferências que passam por $M$ e são tangentes a $(O)$ e a $(P)$.
E de $$HM \times HM' = HT^2$$ também se retira que, pela inversão $I(H, HT^2)$, aos pontos $M$ do eixo radical correspondem os pontos $M'$, ou seja, os pontos $M'$ encontram-se sobre a circunferência inversa do eixo radical das circunferências $(O)$ e $(P)$, que tem como diâmetro $TH$. $\hspace{1cm} \square$

Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

7.10.13

Inversão e Homotetia.

Na entrada Conservação dos ângulos por inversão (2) ilustrámos e demonstrámos o seguinte resultado:
A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. O ângulo que a tangente num ponto qualquer $P$ desta circunferência faz com $OP$ é congruente com o ângulo que $OP$ faz com a tangente à inversa em $P'$ .
Dito de outro modo, as tangente em $P$ e em $P'$ são imagens uma da outra por reflexão de eixo perpendicular a $OP$ no ponto médio de $PP'$

No caso da construção que apresentamos a seguir, retomamos esse resultado partindo de duas circunferências tangentes num ponto $T$. Temos uma homotetia de centro $H$ que transforma a circunferência de centro $O$ na circunferência de centro $P$ e a circunferência com centro em $H$ e raio $HT$ define uma inversão que faz corresponder à circunferência de centro $P$ a circunferência de centro $O$.

A reta, tirada por H, que corta cada uma das circunferências em dois pontos, define pares de pontos $(D, A)$ e $(C, B)$ correspondentes pela homotetia e pares de pontos $(C, A)$ e $(D, B)$ correspondentes pela inversão $I(H, HT^2)$.
$$\frac{HA}{HD} = \frac{HB}{HC} = \; \mbox{razão da homotetia de centro $H$ da circunferência $(P)$ para $O$}$$ $$HA \times HC = HB \times HD = HT^2 = \;\mbox{potência da inversão}$$ para além de $$HC \times HD = HR^2 = \; \mbox{potência de $H$ relativamente à circunferência de centro em $P$}$$ A razão de homotetia que transforma a circunferêcnia de centro $P$ na circunferência de centro $O$ é afinal a razão das potências de inversão e do ponto H relativamente à circunferência de centro $P$, já que $$HC=\frac{HT^2}{HA} \wedge HC=\frac{HR^2}{HD}$$ e, em consequência, $$\frac{HT^2}{HA}=\frac{HR^2}{HD}$$ ou seja $$ \frac{HA}{HD}= \frac{HT^2}{HR^2} \hspace{1cm}\square$$
Os triângulos isósceles $BOA$ e $CPD$ são semelhantes, sendo $OB \parallel PC$ e $OA \parallel PD$.
$A$ e $C$ são inversos e correspondentes por reflexão relativamente á mediatriz de $AC$. Também $B$ e $D$ são inversos e correspondentes por reflexão relativamente á mediatriz de $BD$

Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Determinar circunferências tangentes a duas outras tangentes entre si - um caso simples.

Nesta entrada, estudamos uma construção, com recurso à inversão, de circunferências tangentes a duas circunferências dadas que são tangentes entre si.
Nesta entrada, estudamos uma construção, com recurso à inversão, de circunferências tangentes a duas circunferências dadas que são tangentes entre si.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências (O) e (P) tangentes em T. Tomamos o eixo radical Δ (g) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a OP tirada por T que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto T. E sobre Δ, tomamos um ponto M qualquer. Vamos determinar as circunferências que passam por M e são tangentes às circunferências (O) e (P) dadas.

Se tomarmos uma inversão - I(T, TM²) - M é inverso de si mesmo por ser um ponto da circunferência de inversão e Δ é inversa de si mesma por passar pelo centro da inversão. Δ terá dois pontos que são auto-inversos, para além de M, o outro extremo do diâmetro da circunferência de inversão sobre Δ. E

por passar pelo centro de inversão T, a circunferência (O) tem por inversa uma reta que passa pelos pontos de interseção dela com a circunferência de inversão quando se intersetam
pelas mesmas razões, a circunferência (P) terá por inversa uma reta (para cada elemento e seu inverso, a mesma cor).

Como a inversão preserva a tangência, bastará determinar as circunferências que passam por M e são tangentes às retas inversas de (O) e (P). Os centros dessas circunferências serão equidistantes dessas retas e de M. Há obviamente duas circunferências (azul topázio e verde).
Por I(T, TM²) a estas circunferências correspondem duas circunferências passando por M e cada uma delas tangente às circunferências dadas, uma tangente exteriormente e outra tangente interiormente

Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

30.9.13

Arbelos: Teorema de Pappus - demonstração usando inversão

Na entrada anterior, referimos um Teorema de Pappus relativo à chamada cadeia de Pappus, sequência de circunferências tangentes a duas circunferências dadas e cada uma delas tangente à que a precede e à que a sucede.
Na nossa construção, partimos de 3 pontos colineares $X, Y, Z$, e das circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $YZ$. A circunferência de centro $O_0$ é a circunferência de diâmetro $YZ$, seguida das circunferências de centros $O_1, O_2, O_3, \ldots O_n \ldots \; \;$ da cadeia.
O enunciado do Teorema de Pappus pode enunciar-se assim:
Sejam $X$, $Y$ e $Z$ três pontos colineares tais que $Y$ está entre $X$ e $Z$ e sejam as circunferências (na figura a violeta, amarelo torrado e azul topázio) de diâmetros $XZ$, $XY$, $YZ$. Os círculos $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n \ldots \;\;$ todos tangentes às semicircunferências violeta e amarelo torrado, com $c_1$ tangente ainda à semicircunferência azul topázio $c_0$ e à circunferência $c_2$; $c_3$ tangente a $c_2$ e $c_4$, etc, ... $c_n$ tangente a $c_{n-1}$ e a $c_{n+1}$. Se designarmos por $r_n$ o raio de $c_n$ e por $h_n$ a distância de $O_n$ a $XZ$ , então
$$h_n=2nr_n$$ Na figura destacámos a negro $c_2$ para ilustrar este resultado para o qual $h_2= 2\times 2 \times r_2$.

fotografia de construção *.cdy a ser substituída por construção interactiva *.ggb, logo que possível
A demonstração, com recurso à inversão, é feita com toda a generalidade.

Consideremos a inversão relativa à circunferência de centro $X$ e raio $t_n$ em que $t_n$ é o comprimento da tangente a $c_n$ tirada por $X$ (no caso da nossa ilustração: circunferência de centro $X$ e raio $t_2$ em que $t_2 =XT_2$ sendo $T_2$ o ponto de tangência da tangente a $c_2$ tirada por $X$ ).
Fazemos isso, porque $XT_n$ é perpendicular a $O_nT_n$, sendo $XT_n$ tangente a $c_n$ e $O_nT_n$ tangente à circunferência de inversão e, por isso, $c_n$ ser ortogonal à circunferência de inversão. As circunferências ortogonais à circunferência de inversão são inversas de si mesmas.
Pela inversão $I(X, t_n ^2)$ a inversa de $c_n$ é $c_n$.
As inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ são retas, já que elas passam por $X$, centro da inversão. Estas retas ficam definida pelos pontos de interseção dessas circunferências com a circunferência de inversão.
A inversa da circunferência de centro $O_0$ (diâmetro $YZ$) é uma circunferência tangente às duas retas, determinadas como inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ de centro $K_n$ colinear com $X$, $Y$, $Z$ e $O_0$(no caso da nossa ilustração, trata-se da circunferência de centro $K_2$ e raio=$O_2T_2$). Tanto $O_n$ como $K_n$ estão sobre perpendicular equidistante das retas correspondentes, pela inversão, às circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ e por isso os seus raios são iguais a $O_nT_n$.
O raciocínio feito para a inversa de $c_0$ serve para as circunferências $c_1$, $c_2$, $c_{n-1}$ que são tangentes às duas circunferências originais, tendo inversas $c'_i, \;\; 0\leq i\leq n$ tangentes a essas retas obtidas como inversas das originais. Todas essas inversas têm o mesmo raio $O_nT_n$.
Para além de serem tangentes a essas retas inversas cada uma delas $c'_i$ deve ser tangente a $c_{i-1}$ e a $c_{i+1}$. No caso da nossa ilustração $c'_1$ é tangente a $c'_0$ e a $c'_2=c_2$ e, por isso, $h_2$ ou $O_2K_2$ é igual à soma de um raio de $c'_0$ + 2 raios de $c'_1$ + 1 raio de $c'_2$, no total $4r_2$
Para $d_n$, teremos 1 $r_n$ para $c'0$ e outro para $c'_n = c_n$ para além de $2(n-1) r_n$ correspondentes aos diâmetros de $n-1$ circunferências iguais a $c_n$, $c'_i, \; \; 1\leq i\leq n-1$: $2+2(n-1).r_n= 2nr_n=d_n \hspace{1cm} \square$

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

27.9.13

Construir uma cadeia de Pappus usando uma inversão

Antes da demonstração do teorema de Pappus, sobre uma propriedade da cadeia de Pappus (arbelos, faca de sapateiro), publicamos uma construção da cadeia de Pappus, recorrendo à inversão, proposta por Mariana Sacchetti.
Na nossa construção, partimos de um segmento $XZ$, a ser percorrido por um ponto $Y$, circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $XZ$. Depois determinamos, com a ajuda de uma inversão, as circunferências da cadeia, tangentes às referidas de diâmetros $XZ$ e $XY$ e cada uma delas tangente ainda a duas da cadeia.

Para construir a cadeia, Mariana propôe uma inversão relativa a uma circunferência com centro em $X$ e raio $XZ$.
Por essa inversão, $I(X,XZ^2)$, as inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ que passam pelo centro $X$ de inversão, são retas. A inversa da circunferência de diâmetro $XZ$ tem o ponto $Z$ sobre a circunferência de inversão e, por isso, passa por $Z$.
Assim, as circunferências da cadeia têm inversas tangentes às inversas das cirucnferências de partida. Como cada uma delas temm ainda de ser tangente a duas outras da cadeira, as suas inveersas empilham-se entre as retas inversas das circunferências de partida, cada uma tangente a essas retas e tangentes às vizinhas, como bem ilustra a construção.
As circunferências da cadeia são obtidas por inversão, $I(X, XZ^2)$, aplicada às circunferências da pilha sequencial entre retas.

25.9.13

Determinar a envolvente de uma família de circuncírculos com recurso à inversão

Nesta entrada, mostramos como a utilização da inversão nos permite determinar um lugar geométrico. A ilustração é muito dinâmica e podia ter-se ficado pela observação dos traçados ou pela apresentação do lugar geométrico que o Cinderella (ou outro programa de geometria dinâmica nos fornece). Mas o recurso à inversão é inestimável para compreender melhor e para desvendar procedimentos de construção e demonstração.
Enunciemos:

Os lados azuis de um ângulo dado de vértice $O$ fixo, em torno do qual rodam, são cortados por uma reta azul em $A$ e $B$. Para cada posição dp ângulo $AÔB$, há um triângulo e a respetiva circunferência circunscrita definida por $A,O, B$. Qual será a envolvente da infinidade das circunferências $OAB$ obtidas quando o ângulo roda em torno do seu vértice $O$?

Na nossa construção, partimos de um ângulo de amplitude fixa, vértice $O$ e lados azuis que cortam a reta $r$ (outro azul) em $A$ e $B$.

em vez da construção *.cdy uma ilustração estática espera ser substituída por uma nova construção interactiva talvez*.ggb
Acompanhe a explicação dos passos dados com a figura original não animada. Claro que pode mover a reta $r$, rodar o ângulo (há um ponto verde para isso). E pode animar a figura usando os botões de animação ao fundo à esquerda.

Para cada reta $r$ e cada posição do ângulo de duas retas (amplitude $\alpha$ ou $\pi-\alpha$) há um triângulo único $OAB$ e logo uma única circunferência circunscrita desenhada a cinza na figura. Quando o ângulo roda em torno de $O$, $A$ e $B$ percorrem a reta $r$ e criando desse modo uma infinidade de circunferências circunscritas. Sera que podemos determinar a envolvente dessa infinidade de circuncírculos?

A inversão relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $OH$, $I(O, OH^2)$, é a ajuda que precisamos para passarmos do circuncírculo $OAB$ para uma reta a passar pelos pontos de interseção do círculo de inversão a vermelho como o circuncírculo. O circuncírculo passa pelo centro de inversão (e a sua imagem é uma reta), passa por $A$ e $B$ (e a sua inversa passa por $A'$ e $B'$.
A inversa da reta $r=AB$ que passa por $H$, ponto da circunferência de inversão, é uma circunferência que passa pelo centro $O$ de inversão, por $H=H'$, por $A'$ e por $B'$. O seu centro é o ponto médio de $OH$ Lembremos que, para cada reta $r$, $OH$ é independente da rotação do ângulo em torno de $O$, como o é a circunferência de centro $O$ e raio $OH$.
As cordas $A'B'$ da circunferência de centro $O$ e raio $OH$ são iguais por corresponderem a ângulos ao centro e arcos iguais correspondentes ao nosso ângulo $O$ inscrito na circunferência inversa de $r$. Os pontos médios destas cordas na circunferência de diâmetro $AH$ são pontos de uma circunferência concêntrica, desenhada na figura, que é a envolvente destas cordas $A'B'$.
Esta circunferência que tem centro no ponto médio de $OH$ e toca a corda a $A'B'$ é a envolvente da inversa do circuncírculo. Assim, a correspondente desta, pela mesma inversão $I(O, OH^2)$, tocará o circuncírculo nos correspondentes aos pontos médios das cordas $A'B'$. E sabemos que a inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão é uma circunferência. Está provado que a envolvente dos circuncírculos é uma circunferência. Que circunferência? Quanto mede o seu raio? Onde está o seu centro?
Claro que o centro da envolvente dos circuncírculos estará sobre a reta $OH$. Para o resto, bastará considerar uma tangente à circunferência envolvente de $A'B'$, tirada por $O$, centro de inversão. Chamemos $T$ ao ponto de tangência. Pela inversão $I(O, OH^2)$, a $T$ corresponderá um ponto $T'$ de tangência da circunferência envolvente dos circuncírculos. E $OT \times OT' = OH^2$.
$OT$ corta a circunferência inversa de $r$ numa posição de $A'$, que designamos por $P'$, correspondente a uma posição $A$ sobre a reta $r$, que designamos por $P$. Sabemos, por isso, que $OP'= 2.OT$. $$OH^2=OP\times OP' = OP \times 2.OT = OT\times OT'$$ de onde se conclui que $$OT'=2\times OP$$. Podemos assim determinar sobre a reta que passa por $O, T, P´, P$ o ponto $T'$ de tangência da tangente tirada por $O$ à inversa da envolvente de $A'B'$. O centro desta circunferência, envolvente dos circuncírculos, está na interseção da reta $OH$ com a perpendicular a $OT$ tirada por $T'$.
Ficou assim determinada a envolvente aos circuncírculos $OAB$. $\hspace{1cm} \square$

Para confirmar este resultado, clique no botão da animação em baixo à esquerda.

Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

23.9.13

A inversão na demonstração de um segundo Teorema de Ptolomeu

17.9.13

O produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos seus pares de lados opostos

Nesta entrada apresentamos uma ilustração e demonstração do Teorema de Ptolomeu cujo enunciado é:

De um quadrilátero convexo $ABCD$ inscrito numa circunferência, o produto das diagonais $AC \times BD$ é igual á soma dos produtos dos dois pares de lados opostos $AB\times CD + BC \times AD$

Por diversas vezes foi citado e utilizado o Teorema de Ptolomeu neste "lugar geométrico". Nesta entrada, tratamos da sua demonstração recorrendo à inversão.
Na nossa construção, partimos de uma circunferência (a azul) e o quadrilátero convexo $ABCD$ (a negro) nela inscrito.

Queremos demonstrar que, para o quadrilátero convexo $ABCD$ inscrito, se verifica que $$AB\times CD +BC\times AD = AC \times BD .$$ Para isso tomamos uma circunferência de inversão com centro num dos vértices do quadrilátero. No caso da nossa construção, tomamos $A$ para centro da inversão e uma circunferência (a vermelho) de raio unitário, por conveniência de escrita ( $r=r^2 = 1$) sem perder generalidade.
A inversão de centro $A$ e raio $1$ é designada por $I(A,1)$. Por esta inversão, o correspondente de $B$ é um ponto $B'$ tal que $AB\times AB' =1$. Do mesmo modo, $AC \times AC'=1$ e $AD \times AD'=1$.
Por $I(A,1)$, a circunferência azul que contém o centro da inversão tem como correspondente uma reta (a azul na figura), sobre a qual estão $B', C', D'$. $$B'C' + C'D' = B'D'$$ Em entrada de 26 de Agosto p.p., mostrámos que, para uma inversão $I(O,r^2)$ que transforma $P$ em $P'$ e $Q$ em $Q'$. $$P'Q' = PQ \frac{r^2}{OP \times OQ}$$. No caso de $I(A, 1)$ $$B'D' = \frac{BD}{AB \times AD} , \hspace{.5cm} B'C' = \frac{BC}{AB \times AC} , \hspace{.5cm} C'D' = \frac{CD}{AC \times AD}$$ $$B'C' + C'D' = B'D' \Longleftrightarrow \frac{BD}{AB \times AD} = \frac{BC}{AB \times AC} + \frac{CD}{AC \times AD}$$ e, em conclusão,, $$ BD \times AC = BC\times AD + CD \times AB $$ como queríamos. $\hspace{.5cm} \square$
Com esta demonstração, recorrendo à inversão, podemos generalizar este resultado de Ptolomeu imediatamente. Assim:
Se o polígono convexo $ABCD$ não estiver inscrito num círculo, i. e., se os pontos $A,B,C,D$ não forem concíclicos, pela inversão $I(A, 1)$, os pontos $B', C', D'$ não são colineares. Pela desigualdade triangular, $B'D' < B'C'+ C'D'$ e, em consequência, $$AC \times BD < AB\times CD + BC \times AD$$ Podemos assim afirmar que , em geral,
o produto das diagonais de um quadrilátero convexo é no máximo igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

16.9.13

Dois círculos inversos um do outro podem ser invertidos em dois círculos geometricamente iguais.

15.9.13

Circunferências ortogonais a uma de que se conhece o diâmetro

10.9.13

A importância da inversão para a resolução de problemas geométricos: um belo exemplo.

1.9.13

A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (3)

30.8.13

A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (2)

29.8.13

A inversão preserva a razão dupla de quatro pontos (1)

28.8.13

Razão dupla de 4 pontos concíclicos (apoio de memória)

26.8.13

Relação entre PQ e P'Q', sendo P' inverso de P e Q' inverso de Q

23.8.13

Dois inversos relativamente a uma inversão de centro O, por uma inversão de centro P são transformados em inversos por uma inversão relativamente à inversa da circunferência de centro O

22.8.13

Circunferências tangentes invertem-se em circunferências tangentes.
Circunferências ortogonais invertem-se em circunferências ortogonais

21.8.13

Conservação dos ângulos por inversão (ou reflexão) (3)

20.8.13

Conservação de ângulos por inversão (2)

19.8.13

Conservação de ângulos por inversão (1)

18.8.13

A inversa de uma circunferência de centro C que passa pelo centro O de inversão interseta OC no ponto médio de OC'

Enunciado:
A inversa de uma circunferência de centro $C$ que contém o ponto de inversão $O$ interseta a reta $OC$ no ponto médio de $OC'$, sendo $C'$ o inverso de $C$.

Já sabemos que uma circunferência que passa por $O$, centro de inversão, tem por imagem uma reta perpendicular a $OC$.

Apresentamos uma construção dinâmica adequada à verificação em causa
Pode deslocar os centros $C$ e $O$ ou as circunferências

Demonstremos.
Seja $r$ o raio da circunferência de inversão $I(O, r)$ e seja $D$ o ponto cujo inverso $D'$ é $B$, que é um ponto da circunferência de centro $C$
$O, \;B,\; C, \;C', \;D\;$ estão sobre a reta que contém o diâmetro $[OD]$ da circunferência de centro $\;C$ e, por isso, $\;OB \times OD =r^2 = OC\times OC'.$ Como $\;2\times OC=OD, \;$ $\;2\times OB\times OC = OC\times OC'\;$ e, em consequência, $\;2 \times OB = OC'\;$, ou seja, $\;OB=BC'\;$ $\hspace{9cm} \square$

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

14.8.13

Inverter segmentos de reta ou de circunferência e quadrados,... por exemplo

13.8.13

Inverter feixes de retas (concorrentes e paralelas)

11.8.13

Inversa de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

9.8.13

Inversão de uma circunferência que passa pelo centro de inversão

8.8.13

Inversão de uma reta

7.8.13

A composta de duas inversões concêntricas é uma homotetia com o mesmo centro

A construção desta entrada pretende ilustrar que
A composta de duas inversões relativas a circunferências com o mesmo centro O de potências k₁ e k₂ - I(O,k₂). I(O, k₁) - é uma homotetia de centro O e razão k₂ / k₁ - H(O,k₂k₁) I(O,k₂). I(O, k₁)= H(O, k₂ / k₁
Na figura, por I(O, k₁), P é transformado em P' e, este, por sua vez, é transformado em P'', por I(O, k₂):

Na figura podem deslocar P livremente no plano. Ao mover o ponto P, deixam traços os pontos P, P', P'', podendo assim verificar as relações entre as curvas descritas por P' e P'' quando P descreve a curva que escolha ao deslocá-lo.

Demonstremos que
I(O, k₂)_º I(O, k₁)= H(O, k₂ / k₁)

Um ponto P≠O qualquer do plano, por I(O, k₁), é transformado em P', colinear com O e P e tal que OP . OP' = r₁ ²= k₁
Seguidamente, por I(O, k₂), P' é transformado em P'', colinear com O e P' e tal que OP' . OP'' = r₂²= k₂
O, P e P'' são colineares, sendo OP"= k₂ / OP'=k₂ / k₁OP de onde OP’’/OP= k₂k₁
Se P = O, então P’= Z e P'' = O, o que significa que o centro O é invariante pela composta das duas inversões, consistente com a definição de homotetia de centro O.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

5.8.13

Inversão ou reflexão relativamente a uma circunferência

A entrada anterior aborda os resultados que podemos enunciar

Se $C$ e $D$ são inversos relativamente à circunferência de centro $O$ e raio $r$, então $(A,B;C,D)=-1$, em que $[AB]$ é o diâmetro da circunferência de inversão que passa por $C$ e $D$:
e, reciprocamente, se $(A,B;C,D)=-1$, sendo $[AB]$ um diâmetro de uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, então $C$ e $D$ são inversos relativamente a essa circunferência
Se $C$ e $D$ são inversos relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, então qualquer circunferência que passe por $C$ e $D$ corta ortogonalmente a circunferência de centro $O$ e raio $r$;
e, reciprocamente, se um diâmetro de uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ corta uma circunferência ortogonal a ela em $C$ e $D$, então a $C$ e $D$ são inversos relativamente à circunferência de centro $O$ e raio $r$

A nova construção, que se segue, pretende ilustrar que
Se duas circunferências de centros $O_1$ e $O_2$ se intersetam em dois pontos $C$ e $D$ e cada uma delas é ortogonal a uma terceira de centro $O$, então os pontos $C$ e $D$ são inversos relativamente a essa terceira circunferência de centro $O$.
Na figura podem deslocar $O_i$ livremente no plano. O resultado é válido para circunferências ($O_1$ e $O_2$) que se intersetam e são ortogonais à circunferência de centro $O$ e raio $r$ .

Tome-se a reta $OC$. Na ilustração é aparente que $OC$ passa por $D$.
De facto, assim terá de ser.
Se $OC$ intersetasse a circunferência de centro em $O_1$ em $D_1\;$, como esta é ortogonal à circunferência de centro $O$, $D_1$ seria inverso de $C$ relativamente à circunferência vermelha de centro em $O$
Do mesmo modo, se pode concluir que a interseção $D_2$ de $OC$ com a circunferência de centro $O_2$, por esta ser ortogonal à circunferência de centro $O$, seria inverso de $C$ relativamente à circunferência de centro $O$.
Sabendo que $C$ e $D$ são pontos de interseção das duas circunferências de centros $O_1$ e $O_2$,
$D_1$ é o inverso de $C$ e está sobre a reta $OC$ e a circunferência de centro $O_1$
$D_2$ é inverso $C$ e está sobre a reta $OC$ e sobre a circunferência de centro $O_2$,
e, finalmente, para cada ponto $C$ há uma só ponto $C'$ sobre $OC$ que é seu inverso relativamente à circunferência de centro $O$, tem de ser $C'=D_1=D_2=D$ único ponto nas circunferências de centro $O_1$, de centro $O_2$ e na reta $OC$.

Foi devido a este resultado que alguns geómetras passaram a referir-se à inversão como a reflexão relativamente a uma círcunferência. O enunciado poderia ser assim:
Se duas circunferências se intersetam e cada uma delas é ortogonal a uma terceira circunferência, então cada um dos pontos de interseção das duas circunferências é a reflexão do outro relativamente à terceira circunferência.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

1.8.13

Inversão e ortogonalidade.

Algumas notas sobre ângulos de curvas e ortogonalidade:

Chamamos ângulo de duas circunferências que se intersetam ao ângulo das tangentes a cada uma delas no ponto de interseção.O ângulo num dos pontos de interseção é igual ao ângulo formado pelas tangentes no outro.
Dizemos que as circunferências são ortogonais quando o ângulo das duas é um reto.
Se o raio de uma circunferência tirada do centro para o ponto de interseção com outra, for tangente a esta no ponto de interseção, as circunferências são ortogonais.
Se duas circunferências são ortogonais, o diâmetro de uma delas é cortado harmonicamente pela outra.

A construção, que se segue, pretende ilustrar

a determinação do inverso de um ponto exterior $P$ à circunferência de inversão, usando a construção da tangente tirada por $P$
que a circunferência de centro em $P$ e raio $\overline{PT}$ é ortogonal à circunferência de inversão
que o inverso $X'$ de um ponto $X$ da circunferência ortogonal à circunferência de inversão é um ponto da circunferência ortogonal

Demonstraremos, logo de seguida.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura podem deslocar $P$ livremente no plano e $X$ sobre a circunferência castanha.

Toma-se um ponto O e uma circunferência (a vermelho) que definem $I(O,k)$ e toma-se um ponto genérico $P$ do exterior da circunferência. Os pontos $T$ de tangência à circunferência de inversão das tangentes tiradas por $P$ são os vértices de triângulos retângulos $OPT$ de hipotenusa $[OP]$: interseção da circunferência de inversão com uma circunferência de diâmetro $[OP]$. O inverso $P'$ de $P$ por $I(O,k)$ é o ponto de interseção da reta $OP$ com a reta definida por esses pontos de tangência
De facto, da semelhança de triângulo $[OPT] \sim [OP'T]$, retângulos em $P$ e em $P'$, tira-se $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}} =\frac{\overline{OT}}{\overline{OP'}} = \frac{\overline{TP}}{\overline{TP'}}$$ e $$\overline{OP}\times \overline{OP'}= \overline{OT}\;^2$$ Por ser $\overline{OT}=r$, $$\overline{OP}\times \overline{OP'}= r^2 =k$$
$[PT]$ é raio da circunferência centrada em $P$ e que passa por $T$ (castanha) ao mesmo tempo é tangente à circunferência de inversão (vermelha) no ponto de interseção. Isso basta para garantir que as circunferências são ortogonais.
Lembramos que vamos trabalhar a seguir com segmentos orientados. Quando escrevemos $AB$ é o mesmo que $B-A$, $BA$ é $A-B$, $AB=-BA$, $A-B=-(B-A)$, etc

Tome-se um ponto $X$ da circunferência ortogonal à circunferência de inversão. $OX$ contém um diâmetro $[AB]$ da circunferência de inversão.Tome-se a reta que passa pelo centro $O$ da circunferência de inversão que corta esta em $A$ e $B$ e a ortogonal em $X$ e $Y$, Sabemos, por isso, terá de ser $(AB, YX)=-1$.
O inverso $X'$ de $X$ foi determinado de modo a ser $$OX \times OX' = r^2=OB ^2$$. $Y=X'$?
$$(AB, YX) =\frac{AY}{BY} / \frac{AX}{BX} =-1 \Leftrightarrow \frac{AY}{BY} = - \frac{AX}{BX}$$ e, em consequência, por ser $AY= AO+OY = OY-OA, BY= OB-OY, AX=AO+OX=OX-OA, BX=OX-OB$, $$\frac{OY - OA}{OB - OY} = - \frac{OX - OA}{OX - OB} $$ Como $AO=-BO$, fica $$\frac{OY+OB}{OB-OY}=-\frac{OX+OB}{OX-OB} \Leftrightarrow (OY+OB) \times (OX-OB) = (OB-OY) \times (OX+OB) $$ $$OY \times OX - OY \times OB +OB\times OX - OB^2 = OB\times OX +OB^2 -OY \times OX - OY \times OB \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\times OY \times OX =2\times OB^2$$ ou seja $$OY \times OX =OB^2$$ $Y$ é inverso de $X$ por $I(O,k)$: $X' =Y $ é o inverso de $X$ e está sobre a circunferência de centro $P$ e raio $OT$, ortogonal à circunferência de inversão.
Serve isto para demonstrar que uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão tem por inversa ela própria, mas não ponto por ponto, como acontece com a circunferência de inversão em que cada ponto é inverso de si mesmo.

Estes processos juntam a determinação de conjugados harmónicos com a determinação de inversos, polaridade, ortogonalidade,...

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

31.7.13

Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-)

29.7.13

Notas: noção e notação de inversão e determinação do inverso com recurso ao teorema de Thales

Temos vindo a utilizar a inversão em várias ocasiões. Muitas vezes para resolver problemas em que a passagem de circunferências para retas ou viceversa ajuda a encontrar as soluções.De passagem, já nos referimos várias vezes à definição e a propriedades da inversão e a métodos geométricos de encontrar o inverso de ponto, reta ou círcunferência, caso a caso, e, em várias ilustrações, já recorremos ao modo de transformação (ou macros) do Cinderella ou do Geogebra. Não nos preocupámos com o domínio da inversão como transformação, embora tenhamos tido alguns cuidados e referido restrições, em especial, para as construções só com compasso (ou só com circunferências).
Voltemos à definição.
Se $P$ não é o centro $O$ de uma dada circunferência de raio $r$, o inverso de $P$ em, ou relativamente a essa circunferência, é um ponto $P'$ da reta $OP$ tal que $$\overline{OP}\times \overline{OP'}=r^2\; .$$ À circunferência de centro $O$ e raio $r$ chama-se circunferência de inversão, ao ponto $O$ chama-se centro de inversão, a $r$ chama-se raio de inversão e a $r^2$ chama-se potência de inversão. Para a inversão de centro $O$ e potência $k>0$ usamos a notação $I(O,k)$.
Desta definição de $I(O,r)$, decorre que a cada ponto $P$ do plano, distinto de $O$, corresponde um único inverso $P'$ e que, se $P'$ é o inverso de $P$ também $P$ é o inverso de $P'$. Como não há correspondente do centro $O$ de inversão, $I(O,r)$ não é uma transformação do conjunto de todos os pontos do plano em si mesmo.
Também é verdade que fica estabelecida uma correspondência, um a um, entre os pontos do interior da circunferência (distintos de $O$) e os pontos do exterior da circunferência de inversão; que cada ponto da circunferência de inversão é inverso de si mesmo e que o conjunto dos pontos (distintos de $O$) de uma reta que passe por $O$ é imagem de si mesmo (no seu todo e não ponto a ponto, só os pontos da circunferência são inversos de si mesmos).
A construção que se segue, da inversão $I(O,9)$, pretende ilustrar isso mesmo. Pode deslocar $P$, assumindo qualquer posição do plano para acompanhar o que acontece nas diferentes posições.

Nesta construção, determinamos os inversos dos pontos $P$ por $I(O,9)$, com recurso ao teorema de Thales (ou a triângulos semelhantes)

Começámos por tomar a reta $OP$ que interseta a circunferência em $A$ — $\overline{OA}=3$
Tiramos pelo ponto $O$ uma outra reta qualquer, distinta de $OP$, e chamámos $B$ ao seu ponto sobre a circunferência de inversão — $\overline{OB}=3$
Traçada a reta $PB$, por $A$ tirámos uma paralela a $PB$ e chamámos $C$ à interseção desta com $OB$. Resulta, da semelhança dos triângulos $[OPB]$ e $[OAC]$, $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}} \;\;\; \mbox{ou}\; \;\; \overline{OP}\times \overline{OC} = \overline{OA} \times \overline{OB}=9$$.
$P'$ será o ponto de $OP$ tal que $\overline{OP'}=\overline{OC}$

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

23.7.13

Inversão (e diversão)

Pedido de ajuda:
Temos tido problemas com a visualização de "applets" construídos com geogebra. Agradecemos que nos informem quando vêem e quando não vêem as ilustrações animadas.

Na construção abaixo, pretendemos ilustrar que, por uma inversão relativa a uma circunferência,seu centro e respetivo raio, a imagem de um ponto no interior da circunferência é um ponto do seu exterior (e reciprocamente) e que a imagem da circunferência de inversão é ela mesma. Para isso, determinamos as imagens, relativamente à circunferência vermelha, das circunferências concêntricas com a circunferência de inversão.

E se invertermos circunferências não concêntricas com a circunferência de inversão? Experimente. No caso da ilustração abaixo, pus-me a bordar invertendo circunferências não concêntricas com a circunferência de inversão.

17.7.13

Inscrever um losango de área dada num paralelogramo dado

Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dado um paralelogramo $\;[ABCD]$, determinar um losango $\;[MNPQ]\;$ nele inscrito e com uma área dada.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
No caso da nossa construção procurámos um losango de área $72$.

No paralelogramo $[ABCD]$ as diagonais — $AC, BD$ — intersetam-se num ponto $O$. Qualquer outro paralelogramo $[MNPQ]$ em que $M \in AB, N \in BC, P\in CD, Q \in DA$ tem o mesmo centro $O$, ou seja, $MP.NQ={O}$
A área de tal losango é dada pelo semiproduto das suas diagonais $$\frac{MP \times NQ}{2} = \frac{2OP \times 2OQ}{2} =2\times OP \times OQ$$
Já que a área é 72, $OP \times OQ =36$. Sabemos que uma circunferência de raio $6$ e centro $O$ define uma inversão e, para ela, o ponto $E$ de $[AD]$ tem um correspondente $E'$, sendo $OE \times OE'=36$. Como as diagonais do losango são perpendiculares, escolhemos $E$ como pé da perpendicular a $AD$ tirada por $O$.
Determinado $E'$ sobre $OE$, bastará efetuar uma rotação, de centro $O$ e um ângulo reto de amplitude, da circunferência de diâmetro $[OE']$ que deve intersetar o lado $CD$ em um ou dois pontos. Escolhemos um deles para o vértice $P$ do losango
Conhecido $P$, ${M}=AB.OP$ e tirando por $O$ uma perpendicular a $OP$ esta interseta $AD$ e em $BC$ nos pontos $Q$ e $N$, respetivamente.

16.7.13

Determinar circunferências que passam por P e são tangentes a duas circunferências dadas

Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dados um ponto P e duas circunferências que não passam por ele (a preto), determinar uma circunferência que passe por P e seja tangente às duas circunferêncnias dadas.
As etapas da resolução do problema podem ser seguidas na ilustração dinâmica (em Cinderella) que se apresenta abaixo.

Tomamos uma circunferência auxiliar (violeta) centrada em P, em relação à qual se considera uma inversão.
Das duas circunferências dadas (a preto na ilustração) determinam-se as correspondentes, pela inversão de centro P, circunferências (a verde).
Determinamos as retas tangentes comuns a estas circunferências verdes: exteriores a vermelho, interiores a azul.
A cada uma destas retas tangentes comuns às duas circunferências verdes, imagens por inversão das circunferências dadas, corresponderá pela mesma inversão uma circunferência tangente às duas circunferências dadas que passa por P (centro da inversão correspondente do ponto impróprio da reta) . Determinamos, por isso, as imagens por inversão das retas tangentes.
O problema tem, portanto, quatro soluções: duas circunferências azuis correspondentes às retas azuis (tangentes interiores) e duas circunferências vermelhas correspondentes às tangentes vermelhas exteriores.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

11.7.13

De um triângulo qualquer para um equilátero: que inversão?

9.7.13

Inversão dos círculos de Apolónio (de um triângulo); propriedades

3.7.13

Com recuso à inversão, demonstrar o Teorema de Ptolomeu.

29.6.13

Usando a inversão para determinar a circunferência que passa por um ponto e é tangente a duas circunferências dadas

Apresentámos exemplos de problemas que se resolvem com recurso à inversão. A construção desta entrada ilustra a
determinação da(s) circunferência(s) tangente(s) a duas circunferências dadas e passa(m) por um ponto dado.
Como se pode ver, pelo caso apresentado, recorrer à inversão torna tudo mais fácil. Se eu quero uma circunferência tangente a outras duas, bastar-me-á passar às imagens por alguma inversão dessas circunferências e qualquer das retas tangentes comuns às duas circunferências imagens será correspondente, pela mesma inversão, a uma circunferência tangente às duas circunferências dadas.Se quero que essa circunferência passe por um dado ponto P, basta-me tomar a circunferência de inversão centrada em P.

São dados P e circunferências de centros A e B.
Começo por tomar uma circunferência auxiliar centrada em P e, por comodidade, a cortar as duas circunferências originalmente dadas. Se assim fizermos, as imagens por inversão dessas circunferências serão circunferências definidas, para cada uma, por dois pontos de intersecção com a circunferência auxiliar e pelo centro A ou pelo centro B.
Definidas essas circunferências (imagens), basta-nos tirar alguma tangente comum às duas. Lembramos que há 4 tangentes comuns às duas (duas interiores e duas exteriores). No caso da nossa construção, determinámos as duas tangentes exteriores.
Pela inversão, que definimos inicialmente, a cada reta tangente às imagens das circunferências originalmente dadss corresponde uma circunferência a elas tangentes e a passar por P

28.6.13

Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.

Há um grande número de construções geométricas, de régua e compasso, que são feitas recorrendo à transformação de inversão relativamente a uma circunferência. Vamos apresentar um problema em que se usa a inversão:
Determinar a circunferência que passa por dois pontos — A e B — dados, e corta uma reta — r — dada, segundo um ângulo — α — dado.

Para ajudar:

Diz-se que uma reta corta uma circunferência segundo um dado ângulo quando a corda determinada pela reta
e a tangente em cada um dos seus extremos formam
um ângulo igual ao dado.

Vale a pena lembrar que a envolvente das retas que cortam uma circunferência segundo um dado ângulo é uma nova circunferência concêntrica da anterior. Isso mesmo está ilustrado na construção ao lado. Esse resultado é importante para resolver o problema proposto.

Clique no botão > ao fundo à esquerda para ver a circunferência que é tangente a todas as retas que cortam a circunferência segundo o ângulo dado. Depois, quando quiser obter uma reta que corte a circunferência original obtida num ponto qualquer, basta tirar a tangente por esse ponto à envolvente.

Sigamos agora as etapas de resolução do problema proposto, acompanhando-as na ilustração abaixo

Começamos com os dados iniciais — α, A, B e r — para construirmos a circunferência que passa por A e B e é cortada por r segundo o ângulo α

Em relação a esta circunferência auxiliar, a imagem de r é uma circunferência que passa por F=F', G=G' e A=∞'_r. Claro que pode tomar qualquer circunferência para auxiliar e calcular as imagens de quaisquer dois pontos de r que com o centro da circunferência de inversão definem a imagem de r.
Para determinar uma reta que corta a imagem de r segundo um ângulo α,tomamos uma tangente num ponto qualquer da circunferência imagem de r, no caso usámos A, e marcámos o ângulo α em A e a partir dele a circunferência envolvente das retas que cortam a circunferência imagem de r segundo o ângulo α
Tirámos, por B, a tangente à circunferência envolvente, que corta a circunferência imagem de r segundo α
Finalmente a imagem desta reta BN, pela inversão relativamente à circunferência auxiliar de centro A é a circunferência que passa por A, B e N (Tomámos N=N' da reta e da circunferência de inversão) que corta a reta r segundo α, como podemos verificar na etapa final da construção.

26.6.13

Teorema de Mohr-Mascheroni

As construções geométricas com régua e compasso trabalham com dois tipos de figuras: as circunferências (compasso) e as retas (régua). Estas figuras ficam determinadas por dois pontos — a reta — e por três pontos — a circunferência. Nas últimas entradas, vimos que, só com compasso, podemos determinar o centro de uma circunferência dada por três pontos e também vimos como determinar, só com compasso, os pontos de intersecção de quaisquer duas dessas figuras definidas unicamente pelos seus pontos. Para isso, usámos a inversão relativamente a uma ou várias circunferências.
Assim demonstrámos que
Todas as construções de régua e compasso podem ser feitas só com recurso a compasso (ou só com circunferências)
Este resultado é conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni.

20.6.13

Exercícios interativos: Soluções (VII)

Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:

Para determinarmos a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
- A' e B'
- a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
- C' e D'
- a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
- as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.

18.6.13

Exercícios interativos - Soluções (VI)

Na entrada de 30 de Maio, propomos ao leitor que,
com compasso e ponto a ponto, desenhe a circunferência que passa pelos três pontos I, J e K dados
Para realizar esse exercício, disponibilizávamos a ferramenta "compasso" que permite transferir comprimentos, embora tal possa ser feito com recurso a circunferências.
A construção dinâmica, a seguir apresentada, ilustra as etapas de uma resolução possível desse problema:

A primeira etapa consiste na construção de três circunferências: uma de centro I e raio JK - chamemos-lhe i - , outra de centro J e raio IK — j — e a terceira de centro K e raio IJ — k —; duas destas circunferências intersetam a terceira em pontos equidistantes do centro da terceira. No caso tomámos C₁ de k.ie C₂ de j.i que são pontos da circunferência que passa por I, J e K, circunscrita ao triângulo [IJK] e também aos triângulos [C₁ KI] e [C₂ JI] com ele congruentes. Repare-se, para exemplo, que C₁ K = IJ , C₁ I = KJ e IK=IK para ver que [C₁ KI] = [JKI].
Como já vimos em entradas anteriores, o centro desta circunferência que passa por C₁ e C₂ terá a sua imagem, por inversão relativamente a I e i, na interseção das circunferências centradas em C₁ e C₂ (de i) e a passar por I. Por isso, a segunda etapa da nossa resolução consiste nesta determinação de C'.
Finalmente, determina-se o correspondente C de C' por inversão relativamente a I e i.
E com centro em C traça-se a circunferência que passa por C₁, C₂, I, J e K.

14.6.13

Exercícios interativos: Soluções (V)

Na entrada de 28 de Maio, propomos ao leitor a determinação do centro de uma dada circunferência com recurso exclusivamente a circunferências
A construção dinâmica, que se apresenta a seguir, ilustra as etapas da resolução desse problema:

Toma-se um ponto P qualquer sobre a circunferência original e uma circunferência, a azul, de centro P que intersete a original em dois pontos A e B, a roxo;
Com centros em A e B traçam-se as circunferências a roxo que passam por P e também se intersetam em C', a castanho;
Com centro em C' traça-se a circunferência, a castanho, que passa por P e interseta a circunferência a azul nos pontos D e E, amarelos;
Finalmente as circunferências centradas em D e E, a amarelo, que passam por P, intersetam-se ainda no ponto C, a vermelho.

A entrada anterior que tratava da construção da imagem de um ponto qualquer por inversão relativamente a uma circunferência de centro C, mostra que a imagem de C, C', por uma inversão de centro em P é a interseção das circunferências centradas em A e B que passam por P. Assim, obtido C', resta-nos obter C como imagem de C' pela inversão relativamente à circunferência azul e seu centro P. O ponto C é o centro da circunferência original.