Exercícios interativos; Soluções (VI)

Na entrada de 30 de Maio, propomos ao leitor que,
com compasso e ponto a ponto, desenhe a circunferência que passa pelos três pontos $I$, $J$ e $K$ dados
Para realizar esse exercício, disponibilizávamos a ferramenta "compasso" que permite transferir comprimentos, embora tal possa ser feito com recurso a circunferências.
A construção dinâmica, a seguir apresentada, ilustra as etapas de uma resolução possível desse problema:

1. A primeira etapa consiste na construção de três circunferências: uma de centro $I$ e raio $JK$ — chamemos-lhe $i$ — , outra de centro $J$ e raio $IK$ — $j$ — e a terceira de centro $K$ e raio $IJ$ — $k$ —; duas destas circunferências intersetam a terceira em pontos equidistantes do centro da terceira. No caso tomámos $C_1$ de $k.i$ e $C_2$ de $j.i$ que são pontos da circunferência que passa por $I$, $J$ e $K$, circunscrita ao triângulo $[IJK]$ e também aos triângulos $[C_1 KI]$ e $[C_2 JI]$ com ele congruentes. Repare-se, para exemplo, que $C_1 K = IJ$, $C_1 I = KJ$ e $IK=IK$ para ver que $[C_1 KI] = [JKI]$
2. Como já vimos em entradas anteriores, o centro desta circunferência que passa por $C_1$ e $C_2$ terá a sua imagem, por inversão relativamente a $I$ e $i$, na interseção das circunferências centradas em $C_1$ e $C_2$ (de $i$) e a passar por $I$. Por isso, a segunda etapa da nossa resolução consiste nesta determinação de $C'$.
3. Finalmente, determina-se o correspondente $C$ de $C'$ por inversão relativamente a $I$ e $i$.
4. E com centro em $C$ traça-se a circunferência que passa por $C_1$, $C_2$, $I$, $J$ e $K$.

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