A composta de duas inversões concêntricas é uma homotetia com o mesmo centro

A construção desta entrada pretende ilustrar que
A composta de duas inversões relativas a circunferências com o mesmo centro O de potências k₁ e k₂ - I(O,k₂). I(O, k₁) - é uma homotetia de centro O e razão k₂ / k₁ - H(O,k₂k₁) I(O,k₂). I(O, k₁)= H(O, k₂ / k₁
Na figura, por I(O, k₁), P é transformado em P' e, este, por sua vez, é transformado em P'', por I(O, k₂):

Na figura podem deslocar P livremente no plano. Ao mover o ponto P, deixam traços os pontos P, P', P'', podendo assim verificar as relações entre as curvas descritas por P' e P'' quando P descreve a curva que escolha ao deslocá-lo.

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Demonstremos que
I(O, k₂)_º I(O, k₁)= H(O, k₂ / k₁)

1. Um ponto P≠O qualquer do plano, por I(O, k₁), é transformado em P', colinear com O e P e tal que OP . OP' = r₁ ²= k₁
2. Seguidamente, por I(O, k₂), P' é transformado em P'', colinear com O e P' e tal que OP' . OP'' = r₂ ²= k₂
3. O, P e P'' são colineares, sendo OP"= k₂ / OP'=k₂ / k₁OP de onde OP’’/OP= k₂k₁
4. Se P = O, então P’= Z e P'' = O, o que significa que o centro O é invariante pela composta das duas inversões, consistente com a definição de homotetia de centro O.

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992