Exercícios interativos: Soluções (VII)

Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ dados, determine o ponto de interseção das retas $AB$ e $CD$.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:

Este é uma Apliqueta Java criado utilizando o GeoGebra de www.geogebra.org - parece que não tem o Java instalado, aceda a www.java.com

Para determinarmos a intersecção da reta $(A,B)$ com a reta $(C,D)$ recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

1. Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto $P$ e uma circunferência nele centrada.
2. Por inversão, relativamente a $P$ e à circunferência nele centrada, determinamos
   • $A'$ e $B'$
   • a circunferência que passa por $A', B', P$ é o transformado de $AB$ pela inversão
   • $C'$ e $D'$
   • a circunferência que passa por $C', D', P$ é o transformado de $CD$ pela inversão
   • as circunferências $(A',B',P)$ e $(C',D', P)$ intersetam-se em $P$ e em $I'$ sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção $I$ de $(A,B)$ com $(C,D)$
3. Determinar $I$ é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de $I'$

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.