Inversão e ortogonalidade.

Algumas notas sobre ângulos de curvas e ortogonalidade:

• Chamamos ângulo de duas circunferências que se intersetam ao ângulo das tangentes a cada uma delas no ponto de interseção.O ângulo num dos pontos de interseção é igual ao ângulo formado pelas tangentes no outro.
• Dizemos que as circunferências são ortogonais quando o ângulo das duas é um reto.
• Se o raio de uma circunferência tirada do centro para o ponto de interseção com outra, for tangente a esta no ponto de interseção, as circunferências são ortogonais.
• Se duas circunferências são ortogonais, o diâmetro de uma delas é cortado harmonicamente pela outra.

A construção, que se segue, pretende ilustrar

1. a determinação do inverso de um ponto exterior $P$ à circunferência de inversão, usando a construção da tangente tirada por $P$
2. que a circunferência de centro em $P$ e raio $\overline{PT}$ é ortogonal à circunferência de inversão
3. que o inverso $X'$ de um ponto $X$ da circunferência ortogonal à circunferência de inversão é um ponto da circunferência ortogonal
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Demonstraremos, logo de seguida.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura podem deslocar $P$ livremente no plano e $X$ sobre a circunferência castanha.

1. Toma-se um ponto O e uma circunferência (a vermelho) que definem $I(O,k)$ e toma-se um ponto genérico $P$ do exterior da circunferência. Os pontos $T$ de tangência à circunferência de inversão das tangentes tiradas por $P$ são os vértices de triângulos retângulos $OPT$ de hipotenusa $[OP]$: interseção da circunferência de inversão com uma circunferência de diâmetro $[OP]$. O inverso $P'$ de $P$ por $I(O,k)$ é o ponto de interseção da reta $OP$ com a reta definida por esses pontos de tangência
   De facto, da semelhança de triângulo $[OPT] \sim [OP'T]$, retângulos em $P$ e em $P'$, tira-se $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}} =\frac{\overline{OT}}{\overline{OP'}} = \frac{\overline{TP}}{\overline{TP'}}$$ e $$\overline{OP}\times \overline{OP'}= \overline{OT}\;^2$$ Por ser $\overline{OT}=r$, $$\overline{OP}\times \overline{OP'}= r^2 =k$$
2. $[PT]$ é raio da circunferência centrada em $P$ e que passa por $T$ (castanha) ao mesmo tempo é tangente à circunferência de inversão (vermelha) no ponto de interseção. Isso basta para garantir que as circunferências são ortogonais.
3. Lembramos que vamos trabalhar a seguir com segmentos orientados. Quando escrevemos $AB$ é o mesmo que $B-A$, $BA$ é $A-B$, $AB=-BA$, $A-B=-(B-A)$, etc
   
   Tome-se um ponto $X$ da circunferência ortogonal à circunferência de inversão. $OX$ contém um diâmetro $[AB]$ da circunferência de inversão.Tome-se a reta que passa pelo centro $O$ da circunferência de inversão que corta esta em $A$ e $B$ e a ortogonal em $X$ e $Y$, Sabemos, por isso, terá de ser $(AB, YX)=-1$.
   O inverso $X'$ de $X$ foi determinado de modo a ser $$OX \times OX' = r^2=OB ^2$$ . $Y=X'$?
   $$(AB, YX) =\frac{AY}{BY} / \frac{AX}{BX} =-1 \Leftrightarrow \frac{AY}{BY} = - \frac{AX}{BX}$$ e, em consequência, por ser $AY= AO+OY = OY-OA, BY= OB-OY, AX=AO+OX=OX-OA, BX=OX-OB$, $$\frac{OY - OA}{OB - OY} = - \frac{OX - OA}{OX - OB}$$ Como $AO=-BO$, fica $$\frac{OY+OB}{OB-OY}=-\frac{OX+OB}{OX-OB} \Leftrightarrow (OY+OB) \times (OX-OB) = (OB-OY) \times (OX+OB)$$ $$OY \times OX - OY \times OB +OB\times OX - OB^2 = OB\times OX +OB^2 -OY \times OX - OY \times OB \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\times OY \times OX =2\times OB^2$$ ou seja $$OY \times OX =OB^2$$ $Y$ é inverso de $X$ por $I(O,k)$: $X' =Y$ é o inverso de $X$ e está sobre a circunferência de centro $P$ e raio $OT$, ortogonal à circunferência de inversão.
   Serve isto para demonstrar que uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão tem por inversa ela própria, mas não ponto por ponto, como acontece com a circunferência de inversão em que cada ponto é inverso de si mesmo.

Estes processos juntam a determinação de conjugados harmónicos com a determinação de inversos, polaridade, ortogonalidade,...

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992