GEOMETRIA : Raios das circunferências inscritas e altura em triângulos retângulos

6.10.14

Problema: Dividimos o triângulo

$\;ABC\;$ retângulo em

$\;C\;$ pela altura

$\;CD\;$ relativa à hipotenusa

$\;AB.\;$ Provar que a soma dos raios

$\;r_1, \;r_2, \;r_3\;$ respetivamente das circunferências inscritas em

$\;ABC, \; BCD, \; CAD\;$ é

$\;CD\;$

Na entrada de 13 de Setembro p.p., círculo "misto" de um triângulo retângulo no seu ponto 5. tínhamos demonstrado que o raio

$\;r\;$ da circunferência inscrita num triângulo

$\;ABC\;$ retângulo em

$\;C\;$ é dado pelo seu semiperímetro subtraído da hipotenusa

$r= \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2}$ em que

$\;a=BC, \;b=AC, \;c=AB.\;$ Ou: o comprimento do diâmetro do incírculo de um triângulo retângulo é igual à soma dos catetos subtraída da hipotenusa

$2r= a+b-c$

Clicando nos botões

$\fbox{1, 2, 3, 4}\;$ , na esquerda ao fundo, poderá ver (ou ocultar) a altura, os diversos (in)círculos e respetivos (in)raios.

$\fbox{x}$ 1. inscrita em ABC: No caso da nossa circunferência

$\;(O_1,\; r_1)\;$ inscrita em

$\;ABC\;$ de catetos

$\;a=BC, b=AC\;$ e hipotenusa

$\;c=AB\;$ , temos

$2r_1=a+b-c$

$\fbox{x}$ 2. altura h_C: Chamámos

$D$ ao pé da altura relativa a

$\;c.\;$ Na nossa figura,

$\;h_C= h=CD$ . Como

$\;CD \perp AB,\; CD\;$ divide o triângulo

$ABC$ em dois triângulos, ambos retângulos em

$\;D:\;$

$\fbox{x}$ 3. inscrita em BCD: Da circunferência

$\;(O_2, \;r_2)\;$ inscrita em

$\;BCD\;$

$2r_2 =BD+DC-a$

$\fbox{x}$ 4. inscrita em ACD: Da circunferência

$\;(O_3, \;r_3)\;$ inscrita em

$\;ACD\;$

$2r_3 =AD+DC-b$
Finalmente, podemos concluir

$2(r_1+r_2+r_3) = a+b-c + BD+DC-a +AD+DC-b=\underbrace{\underbrace{-c}+\underbrace{BD+DA}}+ 2DC= 2DC$ ou

$r_1+r_2+r_3 =h_C \;\;\;\; \;\; \square$

a partir de A collection of 30 Sangaku Problems, de J. Marshall Unger, Ohhio State University. (sugestões de António Aurélio Fernandes)