GEOMETRIA : agosto 2007

31.8.07

Problema de Monge

Dados três círculos, determinar um quarto círculo que os corte ortogonalmente (caso exista)

O matemático francês Monge (1746-1818) é conhecido como fundador da geometria descritiva. Para os efeitos da resolução do exercício interactivo que se apresenta acima, para ser resolvido sem alvo à vista, interessa referir que Monge viu que os 3 eixos radicais dos 3 pares de cirunferências se interesectam num ponto. Será que o problema de Monge tem solução para qualquer terno de circunferências?
Estamos a realizar estas construções e exercícios com CAR.Metal interface de Eric Hakenholz para o magnífico Régua e Compasso (Zirkel und Lineal) de René Grothmann que sempre utilizámos neste último ano. CAR.Metal v. 1.8 já conta com uma adaptação portuguesa que pode e deve ser melhorada, como é óbvio.

Com data de 27 de Agosto de 2007 escrevia-se "Um serviço sem alvo":
O exercício que estamos a propor é uma experiência. Sendo um exercício feito em R(égua) e C(ompasso) -(ZuL)" estamos a experimentar o interface CAR.metal e a apresentar o exercício sem alvo vísivel. Esperando , claro está, que o computador reconheça a solução, caso a encontre. Aqui vai:
Dadas duas circunferências de centros $\;O_1\;$ e $\;O_2\;$ e. a tangente $\;t\;$ comum às duas, determine um círculo ortogonal às duas circunferências e que tenha centro sobre $\;t$.

A restauração em 2022:

Construção restaurada por Mariana Sacchetti que a explica a seguir:
1. Determina-se o eixo radical das duas circunferências (lugar geométrico dos centros das circunferências ortogonais à circunferência verde e azul):
Traça-se uma circunferência auxiliar (a tracejado preto e de centro M) que intersete ambas as circunferências. As retas definidas pelos pontos de interseção são os eixos radicais das circunferências verde e azul com a circunferência auxiliar. Pela interseção destas duas retas (ponto S) traçar a perpendicular à linha dos centros O1O2. Esta reta, vermelha, é o eixo radical das circunferências ortogonais à verde e à azul.
2. A circunferência pedida tem centro no ponto de interseção do eixo radical e da tangente t (ponto O) e passa pelos pontos I e L, pontos de tangência da reta t com as circunferências.

No livro ainda vinha escrito "Depois de pensar nas propriedades da tangente comum às duas cirucnferências, como passaria a determinar o eixo radical de duas circunferências?
Pode movimentar os centros das cirucnferências e fazer variar os raios. Isso ajudará a ver o que se passa quando as circunferências se intersectam, são tangentes, etc...

e já temos tudo para resolver o Problema de Monge:
Dados três círculos, determinar um quarto círculo que os corte ortogonalmente (caso exista)

Construção restaurada por Mariana Sacchetti que a explica a seguir:

1. Desenha-se uma circunferência auxiliar que intersete as três circunferências.
2. Constroem-se os eixos radicais (bastam dois. Sabemos que os três se intercetam no mesmo ponto)
3. O ponto de interseção dos eixos radicais é o centro da circunferência pretendida.
4. Pelo centro da circunferência pretendida tiram-se tangentes às circunferências (basta a uma e basta determinar um ponto de tangência).
5. A circunferência ortogonal às outras três tem centro no ponto de interseção dos eixos radicais e passa pelos pontos de tangência referidos no ponto anterior.

27.8.07

Um exercício sem alvo

Aqui fica uma tentativa da Mariana na recuperação do que não é recuperável pois, expressamente, se tratava de uma experiência com uma aplicação e um interface específico..... e se apresenta .... num Geogebra que nem existia então mas agora muitíssimo e nunca saberemos se, antes do seu nascimento, já era melhor que o ZuL e o Car.metal só atropelados por terem sido atropelados em Java ..... :-) Em vida, o maquinista nunca esquecerá as ferramentas que usou em vida....
O problema usado para experiência como alvo era
Dadas duas circunferências de centros O₁ e O₂ e a tangente t comum às duas, determine um círculo ortogonal às duas circunferências e que tenha centro sobre t.

1. Determina-se o eixo radical das duas circunferências (lugar geométrico dos centros das circunferências ortogonais à circunferência verde e azul):
Traça-se uma circunferência auxiliar (a tracejado preto e de centro M) que intersete ambas as circunferências. As retas definidas pelos pontos de interseção são os eixos radicais das circunferências verde e azul com a circunferência auxiliar. Pela interseção destas duas retas (ponto S) traçar a perpendicular à linha dos centros O1O2. Esta reta, vermelha, é o eixo radical das circunferências ortogonais à verde e à azul.
2. A circunferência pedida tem centro no ponto de interseção do eixo radical e da tangente t (ponto O) e passa pelos pontos I e L, pontos de tangência da reta t com as circunferências.

O exercício que estamos a propor é uma experiência. Sendo um exercício feito em "R(égua) e C(ompasso) - (ZuL)" estamos a experimentar o interface CAR.metal e a apresentar o exercício sem alvo visível. Esperando, claro está, que o computador reconheça a solução, caso a encontre.
Aqui vai:
Dadas duas circunferências de centros O₁ e O₂ e a tangente t comum às duas, determine um círculo ortogonal às duas circunferências e que tenha centro sobre t.

Depois de pensar nas propriedades da tangente comum às duas circunferências, como passaria a determinar o eixo radical de duas circunferências? Pode movimentar os centros das circunferências e fazer variar os raios. Isso ajudará a ver o que se passa quando as circunferências se intersectam, são tangentes, etc...

22.8.07

um lugar geométrico - o eixo radical(?)

Dadas duas circunferências, onde se encontram os centros das circunferências ortogonais às duas? Sabemos que a potência da circunferência (ortogonal às duas) no centro de uma delas é igual à potência no centro da outra. Como encontrar circunferências ortogonais a duas circunferências dadas?

A recta vermelha (PR) é o lugar geométrico dos pontos nos quais os dois círculos verde e azul (centros O1 e O2) têm a mesma potência. Designamos essa recta por eixo radical ("chordal" "power line"?) dos dois círculos. PR é perpendicular à recta O₁O₂. Conhecido este lugar geométrico, fácil é determinar círculos ortogonais (a preto na figura) aos dois círculos verde e azul.

No caso da nossa construção, os círculos verde e azul não se intersectam. Como determinar o eixo radical de duas circunferências que se intersectam?

20.8.07

Ortogonalidade, potência, pólo e polar

Conversa puxa conversa, passámos da inversão para a perpendicularidade de duas cirunferências. E, no mesmo passo, ligámos a ortogonalidade de duas circunferências à potência de uma circunferência num ponto:

A construção ilustra bem que a potência da circunferência verde (de centro O e raio |OA|ou |OT|) no centro da circunferência azul (de centro P e raio |PT|)
|OP|² - |OA|²
é o quadrado do raio da circunferência azul |PT|².

E é claro que, por serem ortogonais as circunferências, ao pólo O relativamente à circunferência azul de centro P corresponde a mesma recta polar que ao pólo P relativamente à circunferência verde de centro O. Na condição de serem ortogonais as circunferências, a polar de P relativamente à circunferência verde é perpendicular a OP (à recta que passa pelos centros, eixo das abcissas) no ponto que é transformado de P pela inversão relativamente à circunferência verde (inverso de P quando tomamos para unidade o raio da circunferência verde ou com abcissa inversa de P se tomarmos para origem O e para unidade o raio verde)... Do mesmo modo, a polar de O.....

Não podemos saber se este tipo de ligações entre diversos assuntos (conceitos) pode ser abordado facilmente no ensino básico (ou mesmo no secundário), mas parece-nos óbvio que é do maior interesse que, sempre que possível, aos jovens estudantes, deve ser dado o cheiro da síntese, da unidade.... Aos professores cabe escolher as melhores oportunidades e não desperdiçar um único momento propício a reforçar o especial espírito do lugar que a matemática é....

19.8.07

Perpendicularidades e inversões

A construção acima (com a qual pode interagir) ilustra bem que,

se tomarmos para unidade o raio da circunferência verde (|OT|=1), |OA| ^-1=|OP|,
ou, o que é o mesmo, A é o transformado de P pela inversão associada à circunferência verde;

se tomarmos para unidade o raio da circunferência azul (|PT|=1). |PA| ^-1 =|OP|,
ou, o que é o mesmo, A é o transformado de O pela inversão associada à circunferência azul.

As rectas OT e PT são perpendiculares (OT é tangente à circunferência azul e PT é tangente à circunferência verde em T). Do mesmo modo, OS e PS são perpendiculares.

Dizemos que duas circunferências se intersectam perpendicularmente quando os raios tirados para um ponto de intersecção são perpendiculares, que é o mesmo que dizer quando eles são catetos de um triângulo rectângulo cuja hipotenusa é o segmento que une os seus centros.
Designando por r₁ e r₂ os raios das circunferências, (|OT|= r₁ e |PT|=r₂), r₁² + r₂² = |OP| ²
r₁² = |OP| ² - r₂²
r₂² = |OP| ² - r₁²

E isto é para ser lido: duas circunferências são ortogonais (perpendiculares), quando a potência de qualquer delas no centro da outra é o quadrado do raio da outra.

12.8.07

a inversão do triângulo inscrito

o quadrado circunscrito invertido

pensava eu que os azulejos eram obra da inspiração de cada homem
antes de descobrir que a matemática faz da inspiração de cada homem
a inspiração do homem

10.8.07

semi-rectas inversamente paralelas

inversas de paralelas inversas são...

a inversa da concêntrica verde

Considere a circunferência c, preta na figura, e a inversão a ela associada. Determine a transformada por essa inversão da cirucunferência verde, v.

Inverter é ver ao espelho. O quê,?

Tomámos uma circunferência de centro em O e raio r. Os inversos dos pontos de uma recta exterior a essa circunferência (inversora, assim lhe chamamos para simplificar) estão todos sobre uma circunferência que passa pelo centro da circunferência inversora. Falávamos de inverso mesmo no sentido do que neutralizaria um número pela multiplicação: a cada P da recta r, associamos o número p = |OP|/r e ao transformado P' de P fica associado um número p' =|OP'|/r=r/|OP|=p^-1. Claro que o ponto O a que corresponde |OO|=0 não é inverso de qualquer ponto (ou é inverso do ponto impróprio da recta - no infinito) e não tem inverso na inversão associada à circunferência de centro O (ou é inverso de qualquer ponto impróprio de qualquer recta).
[A inversa de uma recta é uma circunferência com menos um ponto (ou com um buraco). A imagem por inversão associada a uma cirunferência de uma recta acabada (incluindo os pontos impróprios onde ela começa e acaba, no infinito) é uma circunferência.]
Interessante é agora procurar inverter figuras geométricas ou ver as suas imagens num espelho circular. Qual é a imagem de uma recta secante à circunferência inversora? Qual é a imagem de uma cirunferência que não seja concêntrica com a crcunferência inversora de centro O e não passe por O? Qual é a imagem da própria circunferência inversora? Qual é a imagem de uma circunferência concêntrica com outra tomando para espelho uma delas? Qual é a imagem de um segmento de recta? E de um triângulo?
Tantas perguntas? Algumas delas. Cada pessoa pode fazer outras tantas e ver como as respostas fazem quadros surpreendentes e belos. Com que cores queremos pintar o nosso mundo do outro lado do espelho?

9.8.07

Determinar o inverso de A.

Considere a inversão associada à circunferência e determine o transformado de A por essa inversão.

4.8.07

O mesmo, de outro modo

Penso que pode ser interessante apresentar a inversão "mais ingénua", com a animação feita (determinação dos inversos P' dos pontos P da recta r, escolhida a unidade; |OR|=1) com os instrumentos de determinação geométrica - semelhanças de triângulos - abordados no 8º ano. Aqui fica.

Nota: Este tipo de ligação entre operações e transformações servem ainda para ilustrar a noção de lugar geométrico.

Inversão de uma recta

Parece interessante, havendo tempo para tal no 9º ano, que se utilize a oportunidade da determinação da tangente por um ponto exterior a uma circunferência para uma referência à inversão, fazendo a ligação com as propriedades das operações com números.

O que acontece se a recta cortar a circunferência associada à inversâo?

O quadrado e a raíz quadrada

Num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre as partes em que a hipotenusa fica dividida. Este é um resultado que se trabalha no 8º ano. E se uma das partes da hipotenusa é a unidade, a outra parte é o quadrado da altura. Ou a altura é a raíz quadrada da outra parte da hipotenusa. Se a altura h divide a hipotenusa em duas partes m e n, h²=mn. A partir de certa altura, fixamos a nossa atenção na média geométrica e só utilizamos este resultado para calcular o comprimento h à custa das partes da hipotenusa e raramente o utilizamos para determinar quadrados. Trabalhar com médias (aritmética, geométrica e harmónica) é um bom exercício de construção e permite consolidar noções relativas e invariantes. A construção que apresentamos em seguida (em que tudo pode variar, deslocando os elementos A,U,.) é um exemplo muito formativo que pode ser abordado de novo no 9º ano. Os estudantes podem aprofundar os seus conhecimentos e compreensão sobre o conceito de medida, mudando de unidade, etc. E não será natural garantir que os estudantes reconheçam que um determinado método de construção serve para obter dois resultados recíprocos?

[A.A.F.]
Como determinar o segmento que tem por comprimento a raíz quadrada do comprimento de um segmento dado? Como determinar o segmento que tem por comprimento o quadrado do comprimento de um segmento dado? Dois problemas?

3.8.07

Inversão

Com os alunos do 8º ano, experimentei a compreensão de alguns procedimentos para efectuar, com régua e compasso, construções geométricas sobre segmentos correspondentes a operações sobre números. Escolhido um segmento para unidade, e dados segmentos de comprimentos a e b, quaisquer, não aparecia como fácil a determinação de um segmento correspondente ao comprimento ab e menos ainda os correspondentes aos comprimentos a/b, 1/a, a_2>, etc. Na altura, tal era pedido depois de termos cuidado das semelhanças de triângulos e os raciocínios usavam só a proporcionalidade entre segmentos determinados por feixes de rectas concorrentes cortadas por paralelas. Parece que não há qualquer problema em determinar 2a em linha nem em compreender o que significa ab, a₂ ou a(b+c) em termos de áreas, mas já tudo se complica quando se pede um segmento igual a 2a/3, ab, etc. Parece que não é assumida a sistemática comparação entre segmentos quando se fala em medida de um comprimento relativamente a outro.
No 9º ano, vamos poder voltar às operações sobre segmentos, agora com recurso sistemático a circunferência e tangentes tiradas por um ponto, sem acrescentar muito ao que se sabe sobre triângulos. Será que a compreensão aumenta? Estas dificuldades devem estar todas resolvidas quando entramos na geometria analítica como tal. Por exemplo, sobre a construção que se apresenta a seguir, está desenhada uma circunferência de raio 3 e as tangentes tiradas por um ponto P (que pode deslocar), um ponto P' (da polar de P relativamente à circunferência e colinear com O e P), define o segmento [OP'] cujo comprimento é o inverso do comprimento de [OP] se tomarmos como unidade o raio da circunferência.

[A.A.F.]
A transformação associada à circunferência dada que a cada P faz corresponder P' (e reciprocamente) nas condições da construção dada, toma naturalmente o nome de inversão relativamente à circunferência. Este é outro exemplo, para aprofundar e melhorar o conceito de medida, permitindo realizar exercícios geométricos muito atractivos geometricamente. Valerá a pena?

No mundo do ATRACTOR há uma máquina muito potente que efectua inversões. Pode usar livremente.