Perpendicularidades e inversões

A construção acima (com a qual pode interagir) ilustra bem que,

• se tomarmos para unidade o raio da circunferência verde (|OT|=1), |OA| ^-1=|OP|,
  ou, o que é o mesmo, A é o transformado de P pela inversão associada à circunferência verde;


• se tomarmos para unidade o raio da circunferência azul (|PT|=1). |PA| ^-1 =|OP|,
  ou, o que é o mesmo, A é o transformado de O pela inversão associada à circunferência azul.

As rectas OT e PT são perpendiculares (OT é tangente à circunferência azul e PT é tangente à circunferência verde em T). Do mesmo modo, OS e PS são perpendiculares.

Dizemos que duas circunferências se intersectam perpendicularmente quando os raios tirados para um ponto de intersecção são perpendiculares, que é o mesmo que dizer quando eles são catetos de um triângulo rectângulo cuja hipotenusa é o segmento que une os seus centros.
Designando por r₁ e r₂ os raios das circunferências, (|OT|= r₁ e |PT|=r₂), r₁² + r₂² = |OP| ²
r₁² = |OP| ² - r₂²
r₂² = |OP| ² - r₁²

E isto é para ser lido: duas circunferências são ortogonais (perpendiculares), quando a potência de qualquer delas no centro da outra é o quadrado do raio da outra.