17.9.07

Do pólo e polar à circunferência

Usando a inversão, o pólo, a polar e separação harmónica,... determinar uma circunferência a partir do seu ponto A e a polar p do ponto P relativamente a ela.

14.9.07

O tempo que não temos?

Estudávamos os inversores (de Peaucellier e Hart) sem conseguirmos chegar a acordo com os inversores nem sobre a próxima publicação, quando decidimos experimentar outros mecanismos.
Na falta de melhor, aqui deixamos uma ampulheta,





para ver passar o tempo.

13.9.07

Voltar atrás?

Pares de lados opostos de um hexágono ABCDEF inscrito numa circunferência determinam 3 pontos P, Q, R colineares (recta de Pascal). Pares de vértices opostos de um hexágono circunscrito a uma circunferência determinam três rectas p, q, r concorrentes (ponto de Brianchon).
Relativamente à circunferência, p é a polar de P (e P é pólo de p), q é a polar de Q, r é a polar de R. E claro que, relativamente à circunferência em que inscrevemos e circunscrevemos aqueles hexágonos em que os vértices do inscrito são os pontos de tangência dos lados do circunscrito, o ponto de Brianchon é o pólo da recta de Pascal e a recta de Pascal é a polar do ponto de Brianchon.



O Teorema de Pascal e o seu dual Teorema de Brianchon já foram abordados. Esta publicação justifica-se como uma chamada de atenção para as conexões com os conceitos de pólo e polar relativamente a uma cónica (inscrita e circunscrita), enfim, para fazer mais uma síntese.

12.9.07

uma gota de engano

Muitas vezes nos enganamos. Algumas vezes acontece que o engano resulta mais belo que o desejado.

5.9.07

Tangência e ortogonalidade

No ensino básico, quando os estudantes aprendem a tirar por um ponto tangentes a uma circunferência ficam com o conhecimento necessário para determinar uma circunferência ortogonal a outra, a polar de um ponto relativamente a uma circunferência, divisão de segmentos e inversa, etc.
Um professor pode, sem precisar de mais tempo, referir estas questões e a determinação geométrica do inverso, por exemplo, enquanto lembra o teorema de Pitágoras e o facto da altura relativa à hipotenusa de um triângulo rectângulo ser meio proporcional aos segmentos em que divide a hipotenusa.
O exercício interactivo, que se segue, pede a determinação da circunferência centrada em P que é ortogonal à centrada em O. Vamos a isso.

31.8.07

Problema de Monge

As questões que foram sendo colocadas até agora permitem resolver o Problema de Monge:
Dados três círculos, determinar um quarto círculo que os corte ortogonalmente (caso exista)



O matemático francês Monge (1746-1818) é conhecido como fundador da geometria descritiva. Para os efeitos da resolução do exercício interactivo que se apresenta acima, para ser resolvido sem alvo à vista, interessa referir que Monge viu que os 3 eixos radicais dos 3 pares de cirunferências se interesectam num ponto. Será que o problema de Monge tem solução para qualquer terno de cirucnferências?



Estamos a realizar estas construções e exercícios com CAR.Metal interface de Eric Hakenholz para o magnífico Régua e Compasso (Zirkel und Lineal) de René Grothmann que sempre utilizámos neste último ano. CAR.Metal v. 1.8 já conta com uma adaptação portuguesa que pode e deve ser melhorada, como é óbvio.

27.8.07

Um exercício sem alvo

O exercício que estamos a propor é uma experiência. Sendo um exercício feito em "R(égua) e C(ompasso) - (ZuL)" estamos a experimentar o interface CAR.metal e a apresentar o exercício sem alvo visível. Esperando, claro está, que o computaddor reconheça a solução, caso a encontre.
Aqui vai:
Dadas duas circunferências de centros O1 e O2 e a tangente t comum às duas, determine um círculo ortogonal às duas circunferências e que tenha centro sobre t.




Depois de pensar nas propriedades da tangente comum às duas circunferências, como passaria a determinar o eixo radical de duas circunferências?

Pode movimentar os centros das circunferências e fazer variar os raios. Isso ajudará a ver o que se passa quando as circunferências se intersectam, são tangentes, etc...

22.8.07

um lugar geométrico - o eixo radical(?)

Dadas duas circunferências, onde se encontram os centros das circunferências ortogonais às duas? Sabemos que a potência da circunferência (ortogonal às duas) no centro de uma delas é igual à potência no centro da outra. Como encontrar circunferências ortogonais a duas circunferências dadas?




A recta vermelha (PR) é o lugar geométrico dos pontos nos quais os dois círculos verde e azul (centros O1 e O2) têm a mesma potência. Designamos essa recta por eixo radical ("chordal" "power line"?) dos dois círculos. PR é perpendicular à recta O1O2. Conhecido este lugar geométrico, fácil é determinar círculos ortogonais (a preto na figura) aos dois círculos verde e azul.

No caso da nossa construção, os círculos verde e azul não se intersectam. Como determinar o eixo radical de duas circunferências que se intersectam?

20.8.07

Ortogonalidade, potência, pólo e polar

Conversa puxa conversa, passámos da inversão para a perpendicularidade de duas cirunferências. E, no mesmo passo, ligámos a ortogonalidade de duas circunferências à potência de uma circunferência num ponto:



A construção ilustra bem que a potência da circunferência verde (de centro O e raio |OA|ou |OT|) no centro da circunferência azul (de centro P e raio |PT|)
|OP|2 - |OA|2

é o quadrado do raio da circunferência azul |PT|2.

E é claro que, por serem ortogonais as circunferências, ao pólo O relativamente à circunferência azul de centro P corresponde a mesma recta polar que ao pólo P relativamente à circunferência verde de centro O. Na condição de serem ortogonais as circunferências, a polar de P relativamente à circunferência verde é perpendicular a OP (à recta que passa pelos centros, eixo das abcissas) no ponto que é transformado de P pela inversão relativamente à circunferência verde (inverso de P quando tomamos para unidade o raio da circunferência verde ou com abcissa inversa de P se tomarmos para origem O e para unidade o raio verde)... Do mesmo modo, a polar de O.....

Não podemos saber se este tipo de ligações entre diversos assuntos (conceitos) pode ser abordado facilmente no ensino básico (ou mesmo no secundário), mas parece-nos óbvio que é do maior interesse que, sempre que possível, aos jovens estudantes, deve ser dado o cheiro da síntese, da unidade.... Aos professores cabe escolher as melhores oportunidades e não desperdiçar um único momento propício a reforçar o especial espírito do lugar que a matemática é....

19.8.07

Perpendicularidades e inversões


A construção acima (com a qual pode interagir) ilustra bem que,
  • se tomarmos para unidade o raio da circunferência verde (|OT|=1), |OA| -1=|OP|,
    ou, o que é o mesmo, A é o transformado de P pela inversão associada à circunferência verde;

  • se tomarmos para unidade o raio da circunferência azul (|PT|=1). |PA| -1 =|OP|,
    ou, o que é o mesmo, A é o transformado de O pela inversão associada à circunferência azul.

As rectas OT e PT são perpendiculares (OT é tangente à circunferência azul e PT é tangente à circunferência verde em T). Do mesmo modo, OS e PS são perpendiculares.

Dizemos que duas circunferências se intersectam perpendicularmente quando os raios tirados para um ponto de intersecção são perpendiculares, que é o mesmo que dizer quando eles são catetos de um triângulo rectângulo cuja hipotenusa é o segmento que une os seus centros.
Designando por r1 e r2 os raios das circunferências, (|OT|= r1 e |PT|=r2), r12 + r22 = |OP| 2
r12 = |OP| 2 - r22
r22 = |OP| 2 - r12


E isto é para ser lido: duas circunferências são ortogonais (perpendiculares), quando a potência de qualquer delas no centro da outra é o quadrado do raio da outra.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção