GEOMETRIA : outubro 2021

29.10.21

Área do quadrado de bissectrizes de um dado rectângulo

Problema:
As bissectrizes dos ângulos de um rectângulo [ABCD]formam um quadrado.
Calcule a área do quadrado [EFGH] (em função das medidas dos comprimentos AB =a e BC=b)

A seguir, uma construção (ou ilustração) que nos induz a uma razão entre as áreas do quadrado e do rectângulo:
@geometrias, 29 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra Trabalhos de Mariana Sacchetti:

Clicando sobre essa figura da solução de M.S. tem acesso à folha no tamanho adequado.

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

28.10.21

Triângulo rectângulo, quadrados, hexágono: e áreas

Problema:
Sobre os lados de um triângulo [ABC] rectângulo em Â, cujos lados do ângulo recto são b= (AC) e c=(AB), construímos, exteriormente ao nosso triângulo [ABC], os quadrados [ABNM], [BCQP], [ACRS].
Calcule a área do hexágono [MNPQRS] (em função de c e a)

A seguir, uma construção (ou ilustração):
@geometrias, 28 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
E aqui fica a resolução de Mariana Sacchetti:

Interessante neste problema é verificar, tal como no problema anterior (em que o triângulo de partida é equilátero), que os triângulos da figura têm todos a mesma área.
Seja

$\angle \alpha = A\hat{B}C \;$
Área de Δ

$\;[ABC]\;$ = Área de Δ

$\;[ASM]\;$ =

$\displaystyle \frac{b.c}{2} \;$
Área de Δ

$\;[NBP]\;$ =

$\displaystyle\frac{a.c.sen(180° - \alpha)}{2} =$

$=\displaystyle\frac{a.c.sen(\alpha)}{2} = \displaystyle\frac{a.c.\displaystyle\frac{b}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Área de Δ

$\;[CQR]\;$ =

$\displaystyle\frac{a.b.sen(90° + \alpha)}{2} = \displaystyle \frac{a.b.cos(\alpha)}{2} =\displaystyle\frac{a.b.\displaystyle\frac{c}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Assim, a área do hexágono [MNPQRS] é:
Área de

$\;[MNPQRS] = 4 \times\frac{bc}{2} + a^2 +b^2 + c^2= 2bc+2a^2=2(bc+a^2)$ Como o enunciado pede, em função de c e a, aplicando o Teorema de Pitágoras
Área de

$\;[MNPQRS] = 2(\sqrt{a^2-c^2} \times c + a^2)$

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

25.10.21

Triângulo equilátero, quadrado, hexágono (9 pontos vértices): áreas

Problema:
Consideremos a construção em que

n=0 —	o triângulo equilátero $\;[ABC],$
n=1 —	os quadrados $\; [ADEB],\; [BFGC], \;[CGHA]\;$ e, finalmente,
n=2 —	o hexágono $\;[DEFGHI]$ .

Sabendo que

$\;AB=a,\;$ determinemos a área de

$\;[DEFGHI]\;$ em função de

$\;a\;$

A seguir, uma construção para acompanhar o estudo (da Mariana? Aurélio?) que os (não?) levará à solução:
@geometrias, 25 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra Já cá chegou a resposta da Mariana. É esta:

Também cá chegou a pergunta: "Porque escreves 12 pontos vértices?" e eu respondo "Não sei" porque só sei que lá deve estar 9 (contei-os, um a um). O maquinista agradece a correcção para 9.

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

21.10.21

Problema: Quadriláteros convexos; ângulo das diagonais e áreas.

Problema:
Se as diagonais de um quadrilátero convexo formam um ângulo de 30º, a área do quadrilátero é a quarta parte do produto das diagonais. O que acontece quando as diagonais formam ângulo de 60º ou de 45º?

A construção que apresentamos a seguir serve só para ver(ificar) a afirmação inicial.
A pergunta seguinte espera da Mariana e do Aurélio considerações, construções e respostas. :-)

@geometrias, 21 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

Da Mariana Sacchetti veio resposta imediata (que verá melhor clicando sobre cada uma das páginas de Mariana):

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

19.10.21

Problema: Quadrilátero de diagonais perpendiculares e quadrados sobre lados opostos

Problema:
Se as diagonais de um quadrilátero forem perpendiculares, demonstra-se que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre dois lados opostos é equivalente à soma dos quadrados construídos sobre os dois outros lados

A construção que apresentamos a seguir serve só para apoiar conjecturas. Pode sempre variar dados e acrescentar o que for preciso para responder a si mesmo e, claro, aos pedidos do enunciado e perguntas de leitores.

@geometrias, 19 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
Solução proposta por Mariana Sacchetti:

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

2021.10.19 | Problema com triângulo equilátero e distância de pontos seus ou não

Problema:
Utilizando a medida das áreas, demonstra-se que a soma das distâncias de um ponto interior a um triângulo equilátero aos seus três lados é constante.
O que é preciso modificar no enunciado considerando que tomamos não um ponto interior mas antes uma localização exterior ao triângulo equilátero?

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

18.10.21

Problema: Triângulo isósceles - medida das áreas e distâncias de pontos da base aos lados

Problema:
Utilizando a medida das áreas, demonstra-se que a soma das distâncias de um ponto $\;M\;$ qualquer da base de um triângulo isósceles aos lados iguais é constante.
E que acontece quando $\;M\;$ está sobre o prolongamento da base?

A construção que apresentamos a seguir serve só para apoiar conjecturas. Pode sempre variar dados e acrescentar o que for preciso para responder a si mesmo e, claro, aos pedidos do enunciado.

@geometrias, 18 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

17.10.21

Problema: Triângulo rectângulo atento a um rectângulo que ocupa área igual

Problema:
Seja $\;D\;$ o ponto de contacto do círculo inscrito num triângulo rectângulo $\; Δ [ABC]\;$ com a hipotenusa $\;BC$ .
Demonstra-se que o rectângulo cujos lados são $\;DB\;$ e $\;DC\;$ é equivalente ao triângulo $\; Δ [ABC]\;$

A construção que apresentamos a seguir serve para apoiar a conjectura .

@geometrias, 18 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
Resolução de Mariana Sacchetti

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

Problema: Razão entre áreas de. dois triângulos medianamente relacionados

Problema:
Um triângulo tem por lados as medianas de um outro triângulo
Demonstra-se que a razão das suas áreas é $\; \frac{3}{4}$ . .

A construção que apresentamos a seguir serve para apoiar a conjectura feita.

@geometrias, 17 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

Problema: Triângulos. Áreas. Equivalência

Problema:
Por um ponto $\;D\;$ tomado sobre o lado $\;BC\;$ de um triângulo $\;Δ[ABC],\;$ tiram-se paralelas $\;DF\;$ e $\;DE\;$ aos lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$ respetivamente.
Demonstra-se que os triângulos $\;Δ[CDE]\;$ e $\;Δ[BDF]\;$ são equivalentes.

E a figura dinâmica que se segue serve-nos bem como conjectura? Pode fazer variar os vértices do triângulo

$\;Δ[ABC]\;$ e as posições de

$\;D\;$ ......

@geometrias, 16 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

9.10.21

Problema:Triângulo(s). Áreas. Meio Proporcional

Problema: Seja

$\;H\;$ o ortocentro do triângulo

$\;\Delta[ABC]:\;$ o círculo de diâmetro

$\;BC\;$ corta

$\;AH\;$ em

$\;D\;$ .
Demonstra-se que a área do triângulo

$\;\Delta[BCD]\;$ é o meio proporcional entre as áreas dos triângulos

$\;\Delta [BCH]\;$ e

$\;\Delta [BCA]\;$ .

A ilustração dinâmica que se segue serve-nos bem como conjectura.
Construções com Geogebra

Notamos que:
a)

$\;x\;$ é o meio proporcional de

$\;a \;\mbox{e}\; b\;$ se e só se

$\;\frac{ a}{x}\;=\; \frac{x}{b}\;$
b) Nas condições da figura,

$\;BC\;$ é um lado dos três triângulos

$\;\Delta[ABC],\; \Delta[CDB]\; e \; \Delta[BAC]\;$ ou seja é
base comum desses três triângulos.
E as alturas relativas a

$\;BC\;$ dos três triângulos são segmentos da reta

$\;HAH_aD.\;$ ....

Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

5.10.21

Problema resolvido?

Problema:
Num plano são dados: uma circunferência de raio

$\;r \;$ e centro

$\;P\;$ e uma reta

$\;l\;$ , sendo

$\;d \;$ a distância de

$\;P \;$ a

$\;l \;$ tal que

$\;d \;>\; r \;$ .
Se tomarmos

$\;M \;$ e

$\;N \;$ sobre

$\;r \;$ de tal modo que a circunferência de diâmetro

$\;MN \;$ seja tangente exterior à circunferência dada. Mostre que existe um ponto

$\;A \;$ do plano para o qual todos os segmentos

$\;MN \;$ subentendem um ângulo

$\;\angle MÂN \;$ constante.

Tiramos um ponto

$\;O(0,\;0) \;$ , uma reta

$\;Ox =l\;$ e uma

$\; Oy \;$ (perpendicular a

$\; Ox \;$ tirada por

$\; O \;$ ), um ponto

$\;P(O,\;d) \;$ de

$\; Oy \;$ para centro de uma circunferência de raio

$\; r \;$ sendo

$\; d > r \;$ .
Tomamos por

$\; P \;$ uma reta que intersecta

$\; Ox \;$ num ponto

$\; C(h, 0) \;$ que é centro da circunferência tangente à circunferência

$\;(P,\;r) \;$ , como na figura se ilustra.

@ geometrias, 5 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
O centro

$\; C\;$ de uma circunferência tangente exterior à dada

$\;(P,r) \;$ deve ter um raio

$\; s \;$ tal que

$\; PC =(r+s)\;$ é hipotenusa do triângulo

$\;\Delta [OCP]\;$ rectângulo em

$\; O \;$ e, pelo Teorema de Pitágoras,

$\; d^2 + h^2 = (r+s)^2$
Aos extremos do diâmetro da circunferência

$\;(C, s)\;$ cortada por

$\;Ox\;$ na nossa construção, chamamos

$\; M=(h-s, 0)\;$ e

$\;\;N=(h+s,0)\;$ .
Aceitemos que existe um ponto de

$\;Oy, \;\;A(0,\;k), k>0\;$ que satisfaz a condição do problema, ou seja, tal que as amplitudes dos ângulos

$\; \angle MAN \;$ se mantêm invariáveis.
Se tirarmos por

$\;O \;$ uma reta tangente à circunferência

$\;(P,r),\;$ ficamos com um triângulo

$\;\Delta[OTP]\;$ , retângulo em

$\;T\;$ , para além do triângulo

$\;\Delta[COP]\;$ rectângulo em

$\;O\;$ .
A circunferência

$\;(O,\;T)\;$ corta

$\;Oy\;$ num ponto que designamos por

$\; A \;$ e, como nos parece óbvio, só nos falta provar que a amplitude

$\; \angle MÂN \;$ em causa se mantém invariável, no caso de tomarmos pelo mesmo processo outras retas

$\;P, \;C\;$ perpendiculares a tangentes da circunferência

$\;(P,\;r)\;$ ....
Tal se pode provar, recorrendo à circunferência

$\; (A,\; O)\;$ e aos seus diferentes sectores circulares com centro em O e construídos de igual modo ao primeiro sempre com as tangentes a

$\;(P,\;r).\;$
Não dependem dos raios

$\;s\;$ e deslocando o ponto

$\; C\;$ podem ser vistos e vista a sua constância em amplitude dos sectores circulares de

$\;(A,O).\;$

$\hspace{0.5 cm}\square$

3.10.21

conjectura ou tentação de palpite

Um dia destes de arrumações que não me levam longe, folheei um Calendário Matemático de 1997, - CENAMEC, Centro Nacional para el mejoramiento de la enseñanza de la ciencia (Fundacion Polar), Venezuela - e as folhas do mês de Julho de 1997 ficaram abertas como tentação e obrigação de fazer uma construção dinâmica ligada a um "Un Problema Retador"- Problema Desafiante apresentado por "Andrés Moya Romero".

a) Observe a construção dinâmica que aqui lhe deixamos.
b) Fixe-se em dois pontos: A, que pode mover-se no eixo Oy,
e T, que pode mover-se na circunferência de centro P.
c) Repare na amplitude do ângulo MÂN que toma valores diferentes ao deslocar
A ou T cada um no seu mundo.
d) Procure uma posição de A para a qual pode deslocar o ponto T e com ele as posições de M e N
sem alterar a amplitude de MÂN .

Escreva-nos. Estamos a precisar de receber apoios (ou abandonar o feito e o seu feitio inicial).