Construção de uma tangente com recurso a uma só régua

Seja uma cónica determinada por cinco pontos A, B, C, D e E. Com exclusivo recurso a retas, determinar a tangente a essa cónica em A.

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Nota
Comecemos por considerar as retas AC, CE, EB, BD, DA. Paul Yiu apresenta como passos para uma resolução:

1. P= AC ⋂ BD
2. Q= AD ⋂ CE
3. R= PQ ⋂ BE

para concluir: AR é a tangente em A.

Vamos procurar, entre as construções feitas neste blog, alguma que se veja e assim trate o problema da tangente a um dos pontos definidores da cónica. Demonstração?
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Paul Yiu. Introduction to the Geometry of the Triangle. Department of Mathematics Florida Atlantic University (version 2.0402) April 2002

Entre triângulos, porismo e perspectividade?

Numa entrada de 7 de Maio de 2009, apresentávamos um problema interactivo para ser resolvido recorrendo a algumas ferramentas - régua e compasso - a partir de um triângulo ABC e um ponto P dados,
determinar o triângulo (que tenha os mesmos circuncírculo e incírculo) porístico de ABC dado, sendo P, dado, um dos seus vértices.... forçosamente ponto do circuncírculo de ABC.
Recentemente, restauramos essa entrada (da qual perderamos de vista a construção dinâmica,) sem nos atrevermos à recuperação como tarefa interactiva. Pode consultar a restauração, passo a passo, em Triângulos Porísticos.
Verá, nessa recuperação, que há uma infinidade de triângulos poristicos de ABC, como há uma infinidade de pontos P no circuncírculo.
Nesta entrada chamamos a atenção para a existência de um triângulo A'B'C' porístico de ABC que se obtém como imagem por reflexão de ABC relativamente ao espelho IO perpendicular a AA', BB' e CC' (o que nos diz que estas se intersectam num mesmo ponto do infinito centro de perspectividade entre ABC e A'B'C') e para além deste e desses todos já referidos na entrada de Maio de 2009, procurámos ainda outro PQR ligado a ABC por uma perspectividade de centro F' (de IO): AP, BQ e CR fazem parte de um feixe de retas atado em F'...

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e uma última construção em que pode deslocar as posições de A,B, C e verificar que os triângulos obtidos têm as mesmas circunferências circuncentricas e incentricas de [ABC],em que cada um deles tem vértice extremo do diâmetro sobre a reta IO e perspectivo com [ABC] (feixes de retas de centros F e F'(pontos de IO) sendo IO uma delas):

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Edward Brisse; Perspective Poristic Triangles. Forum Geometricorum. Volume 1(2001) p. 9-16

Circuncentros O, OA,OB e OC de um triângulo ABC e seus flancos

Numa entrada Os flancos de um triângulo... de 18/10/2019

1. a partir de um triângulo [ABC] de lados a=BC, b=CA e c=AB,
2. construiram-se quadrados - a², b² e c² - sobre os seus lados, a saber: a -> [BA_bA_cC], b -> [CB_cB_aA] e c -> [AC_aC_bB] e finalmente
3. os triângulos [AB_aC_b], [BC_bA_b], [CA_cB_c] a que chamamos flancos de [ABC]

Então, usando rotações, Lamoen provava que os três triângulos flancos de [ABC] eram equivalentes entre si (têm a mesma área)

Nesta entrada, consideramos o triângulo [O_AO_BO_C] cujos vértices são os circuncentros dos triângulos flancos de [ABC].

• Como o circuncentro O de [ABC] é a intersecção das mediatrizes dos lados a=BC, b=CA e c=BA, o triângulo [O_AO_BO_C] é homotético a [ABC] sendo BC paralela a O_BO_C, CA paralela a O_CO_A e AB paralela a O_AO_B e as mediatrizes cortam a meio dos lados dos quadrados correspondentes: a² -> [BA_bA_cC], b² -> [CB_cB_aA] e c² -> [AC_aC_bB]. Assim, as distâncias de cada um dos lados a, b, c de [ABC] a cada um dos correspondentes lados de [O_AO_BO_C] é a/2 , b/2 e c/2.

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Floor van Lamoen, Friendship Among Triangle Centers. Forum Geometricorum (Volume 1 (2001) 1-6), Editor: Paul Yiu.

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Os flancos de um triângulo são equivalentes

A figura que se apresenta a seguir foi construída assim:

1. a partir de um triângulo [ABC] de lados a=BC, b=CA e c=AB,
2. construiram-se quadrados - a², b² e c² - sobre os seus lados, a saber: a -> [BA_bA_cC], b -> [CB_cB_aA] e c -> [AC_aC_bB] e finalmente
3. os triângulos [AB_aC_b], [BC_bA_b], [CA_cB_c] a que chamamos flancos de [ABC]

Com recurso a transformações geométricas, prova-se que são equivalentes os triângulos [AB_aC_b], [BC_bA_b], [CA_cB_c] e [ABC].

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Floor van Lamoen, Friendship Among Triangle Centers. Forum Geometricorum (Volume 1 (2001) 1-6), Editor: Paul Yiu.

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Nota:
Uma rotação de 90° em torno de A faz corresponder a [AA_bA_c], flanco-A de [ABC], um triângulo [AA'_bA'_c] tal que

• A,A'_b,C são colineares sendo |AA'_b|=|AC|, ou seja, A é o ponto médio do segmento [A'_bC]
• e A'_c coincide com B

e, por isso, [BA] é uma mediana do triângulo [BA'_bC] e os triângulos [A'_bBA] e [ABC]têm igual área ou são equivalentes.

Recuperação: ouro, inversão e harmonia

Em 2010 apresentávamos 3 construções em CaR ou ZuL (Compasso e Régua ou Zirkel und Lineal, R. Grothmann):

• a primeira para lembrar que, para um dado segmento de reta AB, um dos seus pontos M (e um só) o divide em média e extrema razão, a saber, tal que AB/AM=AM/MB, (....Φ) ;
• a segunda a lembrar que, sendo M' o inverso de M relativamente à circunferência de centro em A e raio AB, as razões AB/AM e AM'/AB são iguais já que tomando AB para unidade, AM é o inverso de AM';
• e finalmente que se tomarmos B' como extremo oposto a B do diâmetro de (A, AB) - a meia volta de B em torno de A - temos um quaterno harmónico de pontos (sobre a reta AB), a saber (B', B; M, M').

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Restauração:
Limitámo-nos a substituir essas três construções por uma só que se divide em 5 passos para evidenciar os aspectos essenciais acima referidos.

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