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17.1.20

Circuncentros O, OA,OB e OC de um triângulo ABC e seus flancos

circuncentros.cdy Numa entrada Os flancos de um triângulo... de 18/10/2019
  1. a partir de um triângulo [ABC] de lados a=BC, b=CA e c=AB,
  2. construiram-se quadrados - a2, b2 e c2 - sobre os seus lados, a saber: a -> [BAbAcC], b -> [CBcBaA] e c -> [ACaCbB] e finalmente
  3. os triângulos [ABaCb], [BCbAb], [CAcBc] a que chamamos flancos de [ABC]
Então, usando rotações, Lamoen provava que os três triângulos flancos de [ABC] eram equivalentes entre si (têm a mesma área)
Nesta entrada, consideramos o triângulo [OAOBOC] cujos vértices são os circuncentros dos triângulos flancos de [ABC].
  • Como o circuncentro O de [ABC] é a intersecção das mediatrizes dos lados a=BC, b=CA e c=BA, o triângulo [OAOBOC] é homotético a [ABC] sendo BC paralela a OBOC, CA paralela a OCOA e AB paralela a OAOB e as mediatrizes cortam a meio dos lados dos quadrados correspondentes: a2 -> [BAbAcC], b2 -> [CBcBaA] e c2 -> [ACaCbB]. Assim, as distâncias de cada um dos lados a, b, c de [ABC] a cada um dos correspondentes lados de [OAOBOC] é a/2 , b/2 e c/2.

Floor van Lamoen, Friendship Among Triangle Centers. Forum Geometricorum (Volume 1 (2001) 1-6), Editor: Paul Yiu.

18.10.19

Os flancos de um triângulo são equivalentes

A figura que se apresenta a seguir foi construída assim:
  1. a partir de um triângulo [ABC] de lados a=BC, b=CA e c=AB,
  2. construiram-se quadrados - a2, b2 e c2 - sobre os seus lados, a saber: a -> [BAbAcC], b -> [CBcBaA] e c -> [ACaCbB] e finalmente
  3. os triângulos [ABaCb], [BCbAb], [CAcBc] a que chamamos flancos de [ABC]


Com recurso a transformações geométricas, prova-se que são equivalentes os triângulos [ABaCb], [BCbAb], [CAcBc] e [ABC].
Floor van Lamoen, Friendship Among Triangle Centers. Forum Geometricorum (Volume 1 (2001) 1-6), Editor: Paul Yiu.
Nota:
Uma rotação de 90° em torno de A faz corresponder a [AAbAc], flanco-A de [ABC], um triângulo [AA'bA'c] tal que
  • A,A'b,C são colineares sendo |AA'b|=|AC|, ou seja, A é o ponto médio do segmento [A'bC]
  • e A'c coincide com B
e, por isso, [BA] é uma mediana do triângulo [BA'bC] e os triângulos [A'bBA] e [ABC]têm igual área ou são equivalentes.