Seja uma cónica determinada por cinco pontos A, B, C, D e E. Com exclusivo recurso a retas, determinar a tangente a essa cónica em A.
Nota
Comecemos por considerar as retas AC, CE, EB, BD, DA.
Paul Yiu apresenta como passos para uma resolução:
P= AC ⋂ BD
Q= AD ⋂ CE
R= PQ ⋂ BE
para concluir: AR é a tangente em A.
Vamos procurar, entre as construções feitas neste blog, alguma que se veja e assim trate o problema da tangente a um dos pontos definidores da cónica. Demonstração?
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Paul Yiu. Introduction to the Geometry of the Triangle. Department of Mathematics Florida Atlantic University (version 2.0402) April 2002
a partir de um triângulo [ABC] de lados a=BC, b=CA e c=AB,
construiram-se quadrados - a2, b2 e c2 - sobre os seus lados, a saber: a -> [BAbAcC], b -> [CBcBaA] e c -> [ACaCbB] e finalmente
os triângulos [ABaCb], [BCbAb], [CAcBc] a que chamamos flancos de [ABC]
Então, usando rotações, Lamoen provava que os três triângulos flancos de [ABC] eram equivalentes entre si (têm a mesma área)
Nesta entrada, consideramos o triângulo [OAOBOC] cujos vértices são os circuncentros dos triângulos flancos de [ABC].
Como o circuncentro O de [ABC] é a intersecção das mediatrizes dos lados a=BC, b=CA e c=BA, o triângulo [OAOBOC] é homotético a [ABC] sendo BC paralela a OBOC, CA paralela a OCOA e AB paralela a OAOB e as mediatrizes cortam a meio dos lados dos quadrados correspondentes: a2 -> [BAbAcC], b2 -> [CBcBaA] e c2 -> [ACaCbB]. Assim, as distâncias de cada um dos lados a, b, c de [ABC] a cada um dos correspondentes lados de [OAOBOC] é a/2 , b/2 e c/2.
Floor van Lamoen, Friendship Among Triangle Centers. Forum Geometricorum (Volume 1 (2001) 1-6), Editor: Paul Yiu.